张镇军高中数学新课__圆锥曲线方程__教案

高中数学新课__圆锥曲线方程__教案

课 题：8．3双曲线及其标准方程（二）

1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 3教学重点：教学难点：授课类型：新授课课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

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二、讲解范例：

94

例1 已知双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，且点P2(,5)，1(3, 42)，P分析：由于已知焦点在y轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用

设出来，本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数a,b的一

个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将a2,b2

解：因为双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为

y2x2

1 （a 0,b 0） a2b2

( 42)232

11 2 1 232 9 1b22 aab则有 ，即 92

1811()2 5 25 2 2 1 1 16ba 2

b2 a

解关于

111111

, ,2 的二元一次方程组，得222

16b9aba

所以，所求双曲线的标准方程为

y2x2

169

x2y2

变式例题1 点A位于双曲线2 2 1(a 0,b 0)上，F1,F2是它的

ab

两个焦点，求 AF1F2的重心G

分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相

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解：设 AF1F2的重心G的坐标为(x,y)，则点A的坐标为(3x,3y)

x2y2

因为点A位于双曲线2 2 1(a 0,b 0)上，从而有

ab

x2y2(3x)2(3y)2

1(y 0) 2 1(y 0)，即2

abab

()2()233

x2y2

1(y 0) 所以， AF1F2的重心G的轨迹方程为a2b2

()()33

例1是直接

本题则是用间接法(也叫代入法)来解题，补充本另外本题所求轨迹中包含一个隐含条件，它表现为轨迹上点的坐标应满足一个不等关系，而这一点正是学生容易忽略，造成错误的地方，所以讲解本题有利于培养学生数学思维的

变式例题2 已知 ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，

使sinB sinC

1

sinA，求点A2

分析：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件解：以底边BC 为x轴，底边BC的中点为原点建立xoy坐标系，这时

1

B( 6,0),C(6,0)，由sinB sinC sinA得

2

1

b c a 6,即|AC| |AB|

2

所以，点A的轨迹是以B( 6,0),C(6,0)为焦点，2a=6其方

x2y2

1(x 3程为：

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点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题

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解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知 例2 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s． (1)爆炸点应在什么样的曲线上？

(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340 m／s，求曲线的方程．

根据本题设和结论，注意到在A处听到爆炸声的时间比B处晚2s,

解：(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上． (2)如图，建立直角坐标系xoy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段

AB

设爆炸点P的坐标为(x,y)，则 |PA|－|PB|=340×2=680，即 2a＝680，a＝340． 又|AB|=800， ∴ 2c=800，c=400，b c a＝222

∵ |PA|－|PB|＝680＞0， ∴ x＞所求双曲线的方程为

x2y2

1 （x＞0

11560044400

例2说明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C，利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这想一想，如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段AB的中垂线上）

点评：本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处

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例3求与圆(x 3)2 y2 1及(x 3)2 y2 9都外切的动圆圆心的轨解：设动圆的半径为r，则由动圆与定圆都外切得

MF1 3 r,MF2 1 r，

又因为MF1 MF2 (3 r) (1 r) 2， 由双曲线的定义可知，点Mx2y2

1(x 1) 所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：18

三、课堂练习：

x2y2

1所表示的曲线。 1．判断方程

9 kk 3 9 k 0

解：①当 k 3 0时，即当k 3时，是椭圆；

9 k k 3

②当(9 k)(k 3) 0时，即当3 k 9时，是双曲线；

2．求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A（-5，2）的双曲线的标准方程。

x2y2

c 6,2a 5 45 b2 36 20 答案：

2016

3．求经过点P( 3,27)和Q( 62, 7)，焦点在yy2x2

答案：

2575

x2y2x2y2

2 1和双曲线2 1有相同的焦点，则实数n的值是 4．椭圆

34n16n

（ ）

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