高中立体几何典型500题附加题题库及解析(十二)(551~600题)
时间：2025-03-10
这里收集了500道高中的立体几何的典型题,通过这些练习,立体几何要保证一分都不丢!
自助家教网
高中立体几何典型500题附加题题库及解析(十二)(551~600题)
551. 已知：正三棱柱ABC—A′B′C′中，AB′⊥BC′，BC＝2，求：线段AB′在侧面BB'C'C上的射影长.
解析：如图，取BC的中点D.∵AD⊥BC，侧面BCC'B'⊥底面ABC，∴AD⊥侧面
BCC'B'B'D是斜线AB′在侧面的射影.又∵AB′⊥BC′，∴B'D⊥BC′.
设BB′＝x，在RtΔB'BD中，BE∶BD＝BB'，B'D＝ x. ∵E是ΔBB′C的重心.∴BE＝∴x＝
13
13
2
BC′＝
13
4 x
2
x·
2
x 4，解得：x＝2.∴线段AB′在侧面的射影长为2.
2
552.ΔABC在平面α内的射影是ΔA′B′C′，它们的面积分别是S、S′，若ΔABC所在平面与平面α所成二面角的大小为θ(0＜θ＜90°＝，则S′＝S·cosθ. 证法一 如图(1)，当BC在平面α内，过A′作A′D⊥BC，垂足为
D.
∵AA′⊥平面α，AD在平面α内的射影A′D垂直BC. ∴AD⊥BC.∴∠ADA′＝θ.又S′＝θ.
证法二 如图(2)，当B、C两点均不在平面α内或只有一点(如C)在平面α内，可运用(1)的结论证明S′＝S·cosθ.
553. 求证：端点分别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面.
证明 如图，设异面直线a、b的公垂线段是PQ，PQ的中点是M，过M作平面α，使PQ⊥平面α，且和AB交于R，连结AQ，交平面α于N.连结MN、NR.∵PQ⊥平面α，MN α，∴PQ⊥MN.在平面APQ内，PQ⊥a,PQ⊥MN,∴MN∥a,a∥α，又∵PM＝MQ，∴AN＝NQ，同理可证NR∥b,RA＝RB.
即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.
554. 如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M.
解析：不难看出B1C1⊥平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲证A1M⊥AB1，只要能证A1M⊥AC1就可以了.
证：连AC1，在直角ΔABC中，BC＝1，∠BAC＝30°，∴ AC＝A1C1＝3.
AA1A1C1
12
A′D·BC，S＝
12
AD·BC，cosθ＝
A DAD
,∴S′＝S·cos
设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β∴ tanα＝＝
63
＝2
,
这里收集了500道高中的立体几何的典型题,通过这些练习,立体几何要保证一分都不丢!
6
自助家教网
tgβ＝
MC1
21 tan tan
＝＝.∵cot(α+β)＝＝
2A1C1tan tan 3
1 12
22
＝0,
∴α+β＝90° 即AC1⊥A1M. ∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面AA1CC1，
AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影. ∵AC1⊥A1M，∴由三垂线定理得A1M⊥AB1.
评注：本题在证AC1⊥A1M时，主要是利用三角函数，证α+β＝90°，与常见的其他题目不太相同.
555. 矩形ABCD，AB＝2，AD＝3，沿BD把ΔBCD折起，使C点在平面ABD上的射影恰好落在AD上.
(1)求证：CD⊥AB； (2)求CD与平面ABD所成角的余弦值
.
(1)证明 如图所示，∵CM⊥面ABD，AD⊥AB， ∴CD⊥AB
(2)解：∵CM⊥面ABD
∴∠CDM为CD与平面ABD所成的角， cos∠CDM＝
DMCD
作CN⊥BD于N，连接MN，则MN⊥BD.在折叠前的矩形ABCD图上可得 DM∶CD＝CD∶CA＝AB∶AD＝2∶3. ∴CD与平面ABD所成角的余弦值为
23
556. 空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面
PMC.
解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 ∵ PA⊥AB，∴∠APB＝90°
在RtΔAPB中，∵∠ABP＝45°，设PA＝a， 则PB＝a,AB＝2a,∵PB⊥PC，在RtΔPBC中， ∵∠PBC＝60°,PB＝a.∴BC＝2a,PC＝3a. ∵AP⊥PC ∴在RtΔAPC中，AC＝PA PC
2
2
＝a (3a)＝2a
22
这里收集了500道高中的立体几何的典型题,通过这些练习,立体几何要保证一分都不丢!
自助家教网
(1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面PAB， ∴BC在平面PBC上的射影是BP. ∠CBP是CB与平面PAB所成的角
∵∠PBC＝60°，∴BC与平面PBA的角为60°. (2)由上知，PA＝PB＝a,AC＝BC＝2a. ∴M为AB的中点，则AB⊥PM，AB⊥CM. ∴AB⊥平面PCM.
说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.
557. 在空间四边形ABCP中，PA⊥PC，PB⊥BC，AC⊥BC.PA、PB与平面ABC所成角分别为30°和45°。(1)直线PC与AB能否垂直?证明你的结论；(2)若点P到平面ABC的距离为h，求点P到直线AB的距离.
解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力
.
解 (1)AB与PC不能垂直，证明如下：假设PC⊥AB，作PH⊥平面ABC于H，则HC是PC在平面ABC的射影，∴HC⊥AB，∵PA、PB在平面ABC的射影分别为HB、HA，PB⊥BC，PA⊥PC. ∴BH⊥BC，AH⊥AC
∵AC⊥BC，∴平行四边形ACBH为矩形. ∵HC⊥AB，∴ACBH为正方形. ∴HB＝HA
∵PH⊥平面ACBH.∴ΔPHB≌ΔPHA.
∴∠PBH＝∠PAH，且PB，PA与平面ABC所成角分别为∠PBH，∠PAH.由已知∠PBH＝45°，∠PAH＝30°，与∠PBH＝∠PAH矛盾. ∴PC不垂直于AB.
(2)由已知有PH＝h,∴∠PBH＝45° ∴BH＝PH＝h.∵∠PAH＝30°，∴HA＝3h. ∴矩形ACBH中，AB＝BH
2
HA
2
＝h (3h)＝2h.
h
3h
32
22
作HE⊥AB于E，∴HE＝
HB HAAB
高中立体几何典型500题附加题题库及解析(十二)(551~600题).doc
将本文的Word文档下载到电脑
