2.5 向量空间 内积与正交矩阵

2.5 向量空间 内积与正交矩阵

一、向量空间首先，我们记全体实n维列向量之集合为R n

x , , x 1 n

T

x1 , , xn R

定义2.15:设V是 R n 非空子集，且对向量的加法与乘法封 闭，即：

(1)对任意的α,β∈V,有α+β∈V;(2)对任意的α∈V和k ∈R,有kα∈W . 则称V是一个向量空间。

例1:验证下列集合是否构成Rn的一个子空间:(1)L=[(0, a2, …, an-1, an )|ai∈R]n

( 2) L [(a1 , a2 ,...,an ) | ai R, ai 0]i 1

定义2.16:向量空间V中有向量 1, 2, …, s. 若 (1) 1, 2, …, s 线性无关; (2) V 中任意一向量 都可由 1, 2, …, s 线性表示,

则称向量组 1, 2, …, s 为V的一个基. 称 s为V的维数, 简记 dimV=s.基---极大无关组 维数---向量组的 秩

注1:向量空间的任两个基等价。注2:与基等价的线性无关向量组都可作为基。 注3:r 维向量空间中的任何r 个线性无关的向量都可作为基。

定义:设 1, 2, …, s 是n 维线性空间V的一个基,则 对V 中任 意一向量 ,有且仅有一组数x1, x2, …, xs ,使得

x1 1 x2 2 xs s称有序数组 x1 , x2 , , x s 为 在基 1, 2, …, n下的坐标.

的坐标(x1, x2, …, xs)T由基 1, 2, …, s惟一确定.例2 已知向量组 3 2 1 1 2 1 3 3 1 3 3 4

4 3 1

证明 1, 2, 3为 R3的基,并求向量 在该基下的坐标.

例2 已知向量组 3 2 1 1 2 1 3 3 1 3 3 4

4 3 1

证明 1, 2, 3为 R3的基,并求向量 在该基下的坐标.

只需证明 1, 2, 3线性无关, 则 1, 2, 3就是 R3 的基.

2 因 为 行 列 式 1 , 2 , 3 | 1 | 3

3 3

1 4

1 3 5 0

所 以 1 , 2 , 3线 性 无 关 为R 3的 一 个 基 , .

再求向量 在基 1, 2, 3下的坐标

设

x1 1 x2 2 x3 3 4 3 1 2 3 x1 1 x 2 1 x 3 3 3 4 3 1

则有

2 x1 3 x 2 x 3 4 x1 3 解对 应线 性方 程组x1 x 2 3 x 3 3 , 得 x 2 0 . 3 x 3 x 4 x 1 x 2 2 3 3 1

3 所 以 在 该 基 下 的 坐 标 为 ,

0,

2 .T

自然基

思考： 在基 e1,e2 , e3 下的坐标是什么？

例3:考虑集合 S x Ax 0, x R n , 易知S 为 向量

空间, 若r(A)=r , 则Ax = 0 的基础解系由n-r 个线性无关的解向量 1, 2, …, n-r 组成, 则 1, 2, …, n-r 就是 Ax = 0 的解空间 S的基. dimS = n - r. 思考：若集合 S x Ax b, x R n , S还为向量空间吗？

1 , , s R n , 例4:设记 L( 1 , , s ) { x1 1 xs s | x1 , , xs R} 则 L( 1 , , s ) 构成向量空间， 称为由 1 , , s 生成

的子空间， 1 , , s 称为 L( 1 , , s ) 的生成元组。维( L( 1 , , s )) =秩{ 1 , , s }

二 、内积、长度与夹角 a1 b1 n 定义2.17: , ,称实数 ai bi为向量 与 的 内积， 设 i 1 a b n n

记作： , ai bin i 1

, T T 向量内积，可用矩阵乘法表示为内积运算规律：

1)对称性： , , 2)线性性： , 3)

, , , ( k , ) ( , k ) k ( , ) 正定性： , 0 。 当且仅当 0时 , 0

定义2.18:对向量 ,称 , 为 向量长度(或向量范数),

记作： ( , )。 向量长度的性质：(1) 非负性： 0,当且仅当 0时， 0 ( 2) 线性性：对任意向量 和任意实数 ，都有 k

k k 当 1时，称 为单位向量。当 1时，作数乘 1

,称将 标准化。

1

1

1

(3) 柯西不等式：T 。

a1 b1 n a2 b2 即设 , , 有 a i bi i 1 a b n n

a i2 i 1

n

bi2 i 1

n

证明：当 0时， 不等式显然成立 现设 0, 。

T 记 T , 则 2

T T T T ( T ) ( T ) ( T ) 2

T

T

0,

由此即得所证。

向量的夹角 a1 b1 a2 b2 定义： , , 设 a b n n

( , ) (0 )的角 为向量 , 的夹角 并称满足 cos

定义： 若两个向量 ， ,满足 , 0, 称两个向量正交。

T T T 例5:设 ( 1,1,1,1) , ( 1, 2,1, 0) , ( 1,1,1, 0) ,

(1)问 与 , 是否正交；(2)求与 , , 都正交的单位向量。

三、 正交向量组 Schmidt正交化定义2.20一个向量组 1 , 2 ,..., s满

足

(1) i 0 ( i 1,2, , s ), (2) ( i , j ) 0 ( i j ),称这个向量组为正交向量组. 1 1 0 (1) 1 1 , 2 1 , 3 0 , 0 0 1 1 1 0 ( 2) 1 1 , 2 1 , 3 0 , 0 0 0

是正交向量组.

不是正交向量组.

定理2.16

正交向量组是线性无关的。(反之不然)

证明 : 设 1 , 2 , , s是正交向量组 且存在数k1 , k2 , , k s , ,使得 k1 1 k2 2 k s s 0,则用 i 左乘上式得T

i ( k1 1 ki i k s s ) 0T

由于

i T j 0( i j ), 于是 i T k i i k i i T i 0,T

又由于 i 0即 i i 0( i 1,2, , s ), 故k i 0( i 1,2, , s ),因此正交向量组 1 , 2 , , s是线性无关的 .

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