《高等数学B（下）》同步练习册习题解答

注意：红色表示勘误

目 录

1. 二元函数的概念

2. 二元函数的偏导数与全微分、二阶偏导数 3. 二元函数的极值与最值 4. 二重积分 5. 常微分方程

1. 二元函数的概念

一、选择题

1. 函数f(x,y) ln(1 x2 y2)定义域为（ C ） （A）0 x2 y2 1 （B）0 x2 y2 1 （C）x2 y2 1 （D）x2 y2 1 2. 函数f(x,y)

1

ln(x2 y2 1)

定义域为（ D ）

（A）x2 y2 1 （B）x2 y2 1 （C）x2 y2 1 （D）x2 y2 1且x2 y2 2 3.

函数f(x,y)

C ） （A）x y 0 （B）x y 0 （C）x y 0且x y 0 （D）x y 0且x y 0

4.

函数f(x,y)

B ）

（A）x2 y2 25 （B）x2 y2 25

（C）x2 y2 25 （D）x2 y2 25且x2 y2 26

5. 设z f(x,y)的定义域为D {(x,y)|0 x 1,0 y 1},则z f(x3,y2)的定义域为（ C （A）D {(x,y)|0 x 1,0 y 1} （B）D {(x,y)| 1 x 1,0 y 1} （C）D {(x,y)|0 x 1, 1 y 1} （D）D {(x,y)| 1 x 1,0 y 1}1.

6. 下列函数为同一函数的是（ D ）

（A

）f(x,y) g(x,y) 2

（B）f(x,y) x2y2 1

xy 1

与g(x,y) xy 1

（C）f(x,y) ln(xy)与g(x,y) lnx lny （D）f(x,y) ln(xy)2与g(x,y) 2ln|xy|

二、填空题

）

7. f(x,y)

xyxxy

f,则(,1)

x2 y2yx2 y2

xx

8. f(x,y) x2 y2 xytan,则f(kx,ky) k2(x2 y2 xytan

yy9. f(x y,x y) x2 y2,则f(x,y) xy; 10. f(x y,xy) x2 y2,则f(x,y) x2 2y; 11. f(xy,x y) x3 y3,则f(x,y) y(y2 3x);

yx2(1 y)22

12. f(x y, x y,则f(x,y)

1 yx

2. 二元函数的偏导数与全微分、二阶偏导数

一、填空题

y

1. 函数f(x,y) ln(x 则fx'(1,0) 1,fy'(1,0) 1;

x

y

2. f(x,y) exy (y 1)sin,则fx'(1,1) e;

xx

3. z x3cosy (x 1)sin,则zy'(1,

2y4. f(x,y) ex y,则

2

1;

f

y

(0,1)

2e;

5. z cos(x2 y2),则

z y

2ysin(x2 y2);

z xy, 则z'x 2xyyln2; 6. 2

2z7. z xy xy,则2

x

3

5

2

6xy5 2y;

(ex xex)cosy,f//yy

1y cot; ;

8.f(x,y) xexsiny,则f//xy

xexsiny;

zy

9. z lnsin,则

xx

2

yy z

cot,2

y

2z

10. 函数z cos(xy),则2 x4cos(x2y)

y 2z 2z

11. z ln则2 2 0

x y

.

*12. 已知f(xy,x y) x2 y2,则

f(x,y) f(x,y)

2 2y. x y

二、解答题

13. 求下列函数的全微分：

（1）z xsin(2x 3y).

（2）z （3）z ln(x2 y2). 解：（1）

dz [sin(2x 3y) 2xcos(2x 3y)]dx2xdx 2ydy

. （2）dz （3） dz 22

3xcos(2x 3y)dy.x y

x

（4）z ln （5）z arctan.

y解：（4）dz

xdx ydyydx xdy

dz.（5） .

x2 y2x2 y2

14. 设f、 、 具有连续的偏导数,g、h具有连续导数，

(1)z f(x2 y2,x y),求zx'、zy'; (2)z f(2x 5y,exy),求zx'、zy'.

xy

zx' 2f u yefv,

解：'解：' xy zy 2yf fz5fxef.. uvvyu

zx' 2xf u fv,

1 z 2z z z

. (3)z g(xy) yh(x 2y),求. (4)z (x，y) y (x，y),求 x y xx x y z z zg(xy)yg (xy) y x ,= = x 2 yh (x 2y),y yy,

xy xx x

解： 解：2

zz g (xy) h(x 2y) 2yh (x 2y). yx x yyx. y y x

3. 求下列由方程确定的函数的偏导数或全微分： (1)设方程xz y ez确定函数z z(x,y),求

z zz1 z ,. z xe x yx e

z z,. x y

解：

(2)已知函数z z(x,y)由方程xz arctan

y

z

1x y解：dz dx 2dy

xx y2

x

0确定,求dz. y

(3)设函数z z(x,y)由方程x2 z2 ln解：dz

*4. 设函数z z(x,y)由方程F(x

zz

,y 0所确定，其中F(u,v)具有连续的偏导数. yxz

确定,求dz. y

2xzz2xyzdx zdy

dx dy . 22

2z 1y(2z 1)y(2z2 1)

试证明：x

z z

y z xy. x y

zzzz

,v y ，则F(x ,y ) F(u,v), yxyx

zz11

F,F F u F v F F,F F u F v F Fv ,vyuyvyvzuzvzu22u

xyyx

证明：设u x

Fx Fu u x Fv vx Fu 所以

zzF Fv Fu 2Fv 2u FFx z z yy, FzFz xFu Fv yFu Fv yxyx

1111zz ()(FyFzFFxyFFv ) Fv xFuuvuvu

z zyyxyx x y z xy.

11 x y1F 1F 1F 1F Fu Fv uvuv

yxyxyx

3. 二元函数的极值与最值

一、选择题

1. 函数z x2 5y2 6x 10y 6的驻点（ C ）

（A）( 3,1) （B）( 3, 1) （C）(3, 1) （D）(3,1) 2. 函数z x2 y2,则原点(0,0)是（ D ）

（A）非驻点 （B）驻点但不是极值点

（C）驻点且是极大值点 （D）驻点且是极小值点

3. 设二元函数f(x,y)在点(x0,y0)有极小值,且两个一阶偏导数都存在,则必有（ B ）

（A）fx'(x0,y0) 0,fy'(x0,y0) 0, （B）fx'(x0,y0) 0,fy'(x0,y0) 0, （C）fx'(x0,y0) 0,fy'(x0,y0) 0, （D）fx'(x0,y0) 0,fy'(x0,y0) 0, 4. 设函数f(x,y)在(x0,y0)点的偏导数存在，则f(x,y)在(x0,y0)点（ D ）

（A）连续 （B）可微 （C）偏导数连续 （D）以上结论都不对

5. 设函数f(x,y)在(x0,y0)点处可导（指偏导数fx/,fy/存在）与可微的关系是（ B ）

（A）可导必可微 （B）可微必可导 （C）两者等价 （D）以上结论都不对

二、解答题

6. 求函数f(x,y) x3 y3 9xy 27的极值.

解：驻点P1(0,0),P2(3,3)

2 AC 81 0,故f(0,0)不是f(x,y)的极值. 对P1,A 0,B 9,C 0.B

对P2,A 18,B 9,C 18.B2 AC 243 0,故f(3,3) 0是f(x,y)的极小值.

求a,b之值并判断f(1, 1)是极7. 若函数f(x,y) 2x2 ax xy2 by 2在(1, 1)处取得极值，大值还是极小值.

(1, 1) 0,fy (1, 1) 0.又 解：由极值存在的必要条件，有fx

(x,y) 4x a y2,fy (x,y) 2xy b, fx

所以

(1, 1) 4 a 1 0,fy (1, 1) 2 b 0. fx

故a 5,b 2,从而f(x,y) 2x2 5x xy2 2y 2.

对驻点(1, 1),A 4,B 2,C 2.B2 AC 4 0,故f(1, 1) 2是f(x,y)的极小值.

8. 某工厂用铁板做成一个体积为2 m3

的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取怎样的尺

寸时，才能使用料最省.

解：设长、宽、高分别为x,y,z,则z

2(y Sx 222

,表面积S 2(xy xz yz) 2(xy ),2

0,2

得唯一驻点

S2

y 2(x 2

0,

4. 二重积分

一、填空题

1. 设D由直线y x、y 2x及x 1所围成,则 2dxdy 1;

D

2.

设D: R x R,0 y 则 4dxdy 2 R2;

D

3. 设D:-2 x 2,-1 y 1,则 (x3 4y)dxdy 0;

D

4. D由直线y x2、x 2及x轴所围成,则 2dxdy

D

16

; 5. D为正方形区域0 x 2,0 y 2,则 ex ydxdy (e 1)2;

D

6. D是圆环形区域a2 x2 y2 b2, x2dxdy

D

(b4 a4).

二、选择题

7. 若D:x2 y2 1,D1：x2 y2 1、x 0、y 0,则 |xy|dxdy （ C ）

D

（A） 0 （B）2 xyd （C） 4 xyd （D）8 xyd

D1

D1

D1

8. 若I1 ln(x y)dxdy,I2 [ln(x y)]2dxdy,其中D:3 x 5,0 y 1,则（ A ）

D

D

（A） I1 I2 （B）I1 I2 （C）I1 I2 （D）I1 2I2

9. 若I1 x2d ，I2 xd ,I3 x3d ，其中D x,y 0 x 1,0 y 2 ，则（ B ）

D

D

D

(A)I1 I2 I3 (B)I3 I1 I2 (C)I2 I3 I1 (D)I3 I2 I1

10. 若I1 (x y)2dxdy,I2 (x y)3dxdy,其中D由x y 1、x轴和y轴所围,则（ A ）

D

D

（A） I1 I2 （B）I1 I2 （C）I1 I2 （D）I1 2I2

11. 若D:x y 1、x 0、y 0,则在计算二重积分 f(x,y)d 定限应为等于（ C ）

D

（A） dx f(x,y)dy （B）

1y1 x

01 y

dy f(x,y)dx

1

（C） dx

11 x

f(x,y)dy （D）

D

dx

1 x

f(x,y)dy

12. 若D是由y x2与y=1所围成,在计算二重积分 f(x,y)d 时定限为（ B ）

（A） dx f(x,y)dy （B）2 dx 2f(x,y)dy

x

x

1111

（C） dx

1

1

x2

1

f(x,y)dy （D） dx 2f(x,y)dy

1

11

x

13. 设D是圆域x2 y2 R2,则 (x2 y2)d 在化为极坐标计算时应为（ B ）

D

（A） d r2cos2 rdr （B）

2 R

2

02

d r2 rdr

R

（C）

2

d R rdr （D）

D

R

2

d r2dr

R

*14. 若D：x2 y2 2Rx(R 0)，则 f(x,y)d 在化为极坐标计算时应等于（ C ） （A） d

02

2Rcos

02Rcos

f(rcos ,rsin )rdr （B）

2

d

2Rcos

02Rcos

f(rcos ,rsin )rdr

f(rcos ,rsin )rdr

（C） 2 d

2

f(rcos ,rsin )rdr （D）

d

15.

8

dx f(x,y)dy改换积分次序为（ B ）

xy

8

8

y

8

（A） dy f(x,y)dx （ B） dy f(x,y)dx （C） dy f(x,y)dx （D） dy f(x,y)dx

y

8

8

8

8

16. 二次积分 dx1

41

f(x,y)dy等于（ A ）

2

441

（A）

dy 2f(x,y)dx （B） dy1

y4

2

1

1

1

24

f(x,y)dx f(x,y)dx

（C

）

f(x,y)dx （D） dy17. 二次积分 dx

1

1

11 x

f(x,y)dy等于（ B ）

（A） dy f(x,y)dx （B） （C）

1 x0

1

dy

1 y

01 x

f(x,y)dx f(x,y)dx

dy f(x,y)dx （D）

1

dy

1

三、解答题

18. 改变下列二次积分的积分次序

（1）I dx

121

elnx

f(x,y)dy. （2）I dx 2f(x,y)dy.

x

1x

*（3

）I dx10

2 x

e

f(x,y)dy. *（4）I

dy f(x,y)dx 0

1

1y

f(x,y)dx.

解：（1）I dy yf(x,y)dx. （2） I dye

1y0

f(x,y)dx.

（

3）I dy

1

12 y

f(x,y)dx. （4） I dx

1

x

f(x,y)dy.

19. 计算下列二重积分：

（1） (x 3y2)dxdy, 其中D由0 x 2, 1 y 2所确定.

D

解：原式 dx (x-3y2)dy (x 9)dx 16.

-1

222

（2） x2yd ，其中其中D是由直线y x、x 1及x轴所围成的区域.

D

解：原式 dx xydy

1x

2

2

x41dx . 210

（3） xyd ，其中其中D是由抛物线y x2及直线y x所围成的区域.

D

解：原式 dx 2xydy

x

1x2

x2 x41x dx .

224

（4）

D

y2

d ,其中D是由直线x 2、y x及双曲线xy 1所围成的区域. x2

2

x

解：原式 dx 1

1

x

y212127dy (x dx . 25 1364xx

（5） (x2 y2)d ，其中D是由直线y x、y x 2、y 2和y 6所围成的区域.

D

解：原式 dy

2

6y 2y

8

(x y)dx (2y y2 )dy 48.

23

2

2

6

*（6） dx siny2dy.

x

1y11

解：原式 dy siny2dx ysiny2dy (1 cos1).

0002

11

20. 计算

下列二重积分： （1）

D

2

,其中D由x2 y2 1确定.

解：原式 d

1

rdr 2 . 0r

1

（2） (x2 y2)d ,其中D由1 x2 y2 4确定.

D

解：原式 d r2 rdr

1

2 2

15

. 2

（3） cos(x2 y2)d ,其中D:1

x2 y2 2.

D

解：原式 d r2 rdr (sin2

sin1).

1

2

（4） ,其中D由1 x2 y2 4确定.

D

解：原式 d

2 1

rdr .

（5）

ln(x2 y2)d ,其中D:1 x2 y2 2.

D

解：原式 d r2 rdr (2ln2 1).

1

2

（6） ln(1 x2 y2)d ,其中D由x2 y2=1及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.

D

0

解：原式 2d ln(1 r2) rdr

1

4

(2ln2 1).

请自行完成下面的练习（8）

（7） (x2 y2)d ,其中D由x2 y2 2ax确定.

D

解：原式 d

2

2acos

2

(2acos )2

r rdr d a2.

22

2

（8） (x2 y2)d ,其中D由x2 y2 2ay确定.

D

略

19. 已知D:x2 y2 a2(a 0),求a的值使

2

a

x

e

2

y2

d

2

2

.

D

x

解： e

D

2

y2

d

d e r rdr (1 e a)

22

2

, e a 1, a

2

5. 微分方程

一、选择题：

1. 微分方程xyy x(y )3-y4y 0的阶数为（ D ） （A）5 （B）4 （C）3 （D）2

2. 下列属变量可分离的微分方程的是（ C ）

（A）xcos(xy)dx ydy 0 （B）dy sin(x y)dx

dy

ex y （D）y/ y y2 dx

线性微分方程是（ D ） 3. 下列微分方程中不是．．（C）

（A）y' xy ex （B）y'' 2y' y sinx

d2ydy

（C）y xy e （D）2 x ex 0

dxdx

'

3

x

4. 下列微分方程中属于一阶线性微分方程是（ D ）

e sinx

（A）y ycosx （B）x(y')2 ysinx 0

y

'

（C）yy' xex （D）exy' xyex x

222

5. 方程(y x3)dx xdy 2xydx x2dy是（ C ）

（A） 变量可分离方程 （B）齐次方程

（B） （C）一阶线性方程 （D

）不属于以上三类方程

6. 方程xy' y是（ C ）

（A）变量可分离方程 （B）齐次方程

（C）一阶线性方程 （D）不属于以上三类方程 *7. 下列微分方程中属于一阶齐次方程的是（ B ）

（A）xy y 1 （B）(x y)dx (x y)dy 0 （C）y

x ydyy

x y （D）tan

x2dxx

8. 微分方程y x的通解是（ ）

（A）y x C （B）y

12

x C 2

（C）y 2x2 C （D）y C

9. 微分方程y e（ D ）

'

x2

（A）y e

x

2

C （B）y e C

x2

x2

x2

（C）y Ce （D）y 2e

C

10. 微分方程y'

y1=（ B ） xx(x2 1)

1

（A）arctanx C （B）(arctanx C)

x

1C（C）arctanx C （D）arctanx

xxcos2y

11. 微分方程y 的通解是（ A ） 2

x

'

111

（A）tany C （B） C

cosyxx（C）secy tany

11

C （D）ln|cosy| C xx

二、填空题

12. 经过点(1,0)且切线斜率为3x2的曲线方程为y x3 1. 13. 微分方程y' 2y 0的通解为y ce2x.

14. 微分方程ydx xdy满足y(1) 2的通解为y

2x. 15. 微分方程ylnxdx xlnydy 0满足初始条件y|xdyce xexx

16. 微分方程x (x 1)y e的通解为y .

dxx2

17. 微分方程(1 x)y xy 0的通解为ln|x| ln|y| C.

2

'

1ln2x ln2y .

218. 求下列微分方程的通解或特解：

（1）sinxcosydx cosxsinydy. （2）(1 y2)dx (1 x2)dy 0

sinxsiny

dx dy解：cosxcosy

sinxsiny

dx积分得， cosx cosydy

dcosxdcosy cosxcosy

ln|cosx| ln|cosy| lnCcosx Ccosy

dxdy

2 0

1 x1 y2

dxdy

积分得， 1 x2dx 1 y2dy 0

arctanx arctany C.

(1 ex)yy/ ex

（3）x(1 y)dx (1 x)ydy 0 （4） .

y(0) 1

2

2

xdxydy

2 0

1 x1 y2

xdxxdy

积分得， 1 x2dx 1 y2dy 0 ln(1 x2) ln(1 y2) lnC,即(1 x2)(1 y2) C.

ex

解：xdx ydy,

1 eex

积分得， 1 exdx ydy,

1

ln(1 ex) C y2,

2

11

（y0） 1 ln2 C C ln2,

2211

ln(1 ex) ln2 y2.

22

（5）(ex y ex)dx (ex y ey)dy 0. （6）

解：原方程可化为ex(ey 1)dx ey(ex 1)dy,exey

xdx ydy

(e 1)(e 1)exey

积分得， (ex 1)dx (ey 1)dyln(ex 1) ln(ey 1) lnC,即(ex 1)(ey 1) C.

dy

2y 4x dx

解：p(x) 2,q(x) 4x,

p(x)dxp(x)dx

y e (C q(x)e dx)

2dx2dx

e (C 4xe dx)

e 2x(C 4xe2xdx) e 2x(C 2xe2x e2x).

dyx2 1 x 2y （7） dxx.

y(1) 0

dy2x2 12x2 1 y 2,p(x) ,q(x) 2,

dxxxxx p(x)dxp(x)dx

y e dx)(C q(x)e

e

xdx

1

x21 2

x

dxx2 1 2

(C 2exdx)

xx2 12

(C 2xdx)

x3xx2Cx1(C ) 2 .

3232x

2

（8）(1 x)y 2xy (1 x) （9）求y 2xy 2xe

2'22'

x2

满足x 1时y 2的特解.