高等数学(下)同步练习-练习册排版+答案

《高等数学B（下）》同步练习册习题解答

注意：红色表示勘误

目 录

1. 二元函数的概念

2. 二元函数的偏导数与全微分、二阶偏导数 3. 二元函数的极值与最值 4. 二重积分 5. 常微分方程

1. 二元函数的概念

一、选择题

1. 函数f(x,y) ln(1 x2 y2)定义域为（ C ） （A）0 x2 y2 1 （B）0 x2 y2 1 （C）x2 y2 1 （D）x2 y2 1 2. 函数f(x,y)

1

ln(x2 y2 1)

定义域为（ D ）

（A）x2 y2 1 （B）x2 y2 1 （C）x2 y2 1 （D）x2 y2 1且x2 y2 2 3.

函数f(x,y)

C ） （A）x y 0 （B）x y 0 （C）x y 0且x y 0 （D）x y 0且x y 0

4.

函数f(x,y)

B ）

（A）x2 y2 25 （B）x2 y2 25

（C）x2 y2 25 （D）x2 y2 25且x2 y2 26

5. 设z f(x,y)的定义域为D {(x,y)|0 x 1,0 y 1},则z f(x3,y2)的定义域为（ C （A）D {(x,y)|0 x 1,0 y 1} （B）D {(x,y)| 1 x 1,0 y 1} （C）D {(x,y)|0 x 1, 1 y 1} （D）D {(x,y)| 1 x 1,0 y 1}1.

6. 下列函数为同一函数的是（ D ）

（A

）f(x,y) g(x,y) 2

（B）f(x,y) x2y2 1

xy 1

与g(x,y) xy 1

（C）f(x,y) ln(xy)与g(x,y) lnx lny （D）f(x,y) ln(xy)2与g(x,y) 2ln|xy|

二、填空题

）

7. f(x,y)

xyxxy

f,则(,1)

x2 y2yx2 y2

xx

8. f(x,y) x2 y2 xytan,则f(kx,ky) k2(x2 y2 xytan

yy9. f(x y,x y) x2 y2,则f(x,y) xy; 10. f(x y,xy) x2 y2,则f(x,y) x2 2y; 11. f(xy,x y) x3 y3,则f(x,y) y(y2 3x);

yx2(1 y)22

12. f(x y, x y,则f(x,y)

1 yx

2. 二元函数的偏导数与全微分、二阶偏导数

一、填空题

y

1. 函数f(x,y) ln(x 则fx'(1,0) 1,fy'(1,0) 1;

x

y

2. f(x,y) exy (y 1)sin,则fx'(1,1) e;

xx

3. z x3cosy (x 1)sin,则zy'(1,

2y4. f(x,y) ex y,则

2

1;

f

y

(0,1)

2e;

5. z cos(x2 y2),则

z y

2ysin(x2 y2);

z xy, 则z'x 2xyyln2; 6. 2

2z7. z xy xy,则2

x

3

5

2

6xy5 2y;

(ex xex)cosy,f//yy

1y cot; ;

8.f(x,y) xexsiny,则f//xy

xexsiny;

zy

9. z lnsin,则

xx

2

yy z

cot,2

y

2z

10. 函数z cos(xy),则2 x4cos(x2y)

y 2z 2z

11. z ln则2 2 0

x y

.

*12. 已知f(xy,x y) x2 y2,则

f(x,y) f(x,y)

2 2y. x y

二、解答题

13. 求下列函数的全微分：

（1）z xsin(2x 3y).

（2）z （3）z ln(x2 y2). 解：（1）

dz [sin(2x 3y) 2xcos(2x 3y)]dx2xdx 2ydy

. （2）dz （3） dz 22

3xcos(2x 3y)dy.x y

x

（4）z ln （5）z arctan.

y解：（4）dz

xdx ydyydx xdy

dz.（5） .

x2 y2x2 y2

14. 设f、 、 具有连续的偏导数,g、h具有连续导数，

(1)z f(x2 y2,x y),求zx'、zy'; (2)z f(2x 5y,exy),求zx'、zy'.

xy

zx' 2f u yefv,

解：'解：' xy zy 2yf fz5fxef.. uvvyu

zx' 2xf u fv,

1 z 2z z z

. (3)z g(xy) yh(x 2y),求. (4)z (x，y) y (x，y),求 x y xx x y z z zg(xy)yg (xy) y x ,= = x 2 yh (x 2y),y yy,

xy xx x

解： 解：2

zz g (xy) h(x 2y) 2yh (x 2y). yx x yyx. y y x

3. 求下列由方程确定的函数的偏导数或全微分： (1)设方程xz y ez确定函数z z(x,y),求

z zz1 z ,. z xe x yx e

z z,. x y

解：

(2)已知函数z z(x,y)由方程xz arctan

y

z

1x y解：dz dx 2dy

xx y2

x

0确定,求dz. y

(3)设函数z z(x,y)由方程x2 z2 ln解：dz

*4. 设函数z z(x,y)由方程F(x

zz

,y 0所确定，其中F(u,v)具有连续的偏导数. yxz

确定,求dz. y

2xzz2xyzdx zdy

dx dy . 22

2z 1y(2z 1)y(2z2 1)

试证明：x

z z

y z xy. x y

zzzz

,v y ，则F(x ,y ) F(u,v), yxyx

zz11

F,F F u F v F F,F F u F v F Fv ,vyuyvyvzuzvzu22u

xyyx

证明：设u x

Fx Fu u x Fv vx Fu 所以

zzF Fv Fu 2Fv 2u FFx z z yy, FzFz xFu Fv yFu Fv yxyx

1111zz ()(FyFzFFxyFFv ) Fv xFuuvuvu

z zyyxyx x y z xy.

11 x y1F 1F 1F 1F Fu Fv uvuv

yxyxyx

3. 二元函数的极值与最值

一、选择题

1. 函数z x2 5y2 6x 10y 6的驻点（ C ）

（A）( 3,1) （B）( 3, 1) （C）(3, 1) （D）(3,1) 2. 函数z x2 y2,则原点(0,0)是（ D ）

（A）非驻点 （B）驻点但不是极值点

（C）驻点且是极大值点 （D）驻点且是极小值点

3. 设二元函数f(x,y)在点(x0,y0)有极小值,且两个一阶偏导数都存在,则必有（ B ）

（A）fx'(x0,y0) 0,fy'(x0,y0) 0, （B）fx'(x0,y0) 0,fy'(x0,y0) 0, （C）fx'(x0,y0) 0,fy'(x0,y0) 0, （D）fx'(x0,y0) 0,fy'(x0,y0) 0, 4. 设函数f(x,y)在(x0,y0)点的偏导数存在，则f(x,y)在(x0,y0)点（ D ）

（A）连续 （B）可微 （C）偏导数连续 （D）以上结论都不对

5. 设函数f(x,y)在(x0,y0)点处可导（指偏导数fx/,fy/存在）与可微的关系是（ B ）

（A）可导必可微 （B）可微必可导 （C）两者等价 （D）以上结论都不对

二、解答题

6. 求函数f(x,y) x3 y3 9xy 27的极值.

解：驻点P1(0,0),P2(3,3)

2 AC 81 0,故f(0,0)不是f(x,y)的极值. 对P1,A 0,B 9,C 0.B

对P2,A 18,B 9,C 18.B2 AC 243 0,故f(3,3) 0是f(x,y)的极小值.

求a,b之值并判断f(1, 1)是极7. 若函数f(x,y) 2x2 ax xy2 by 2在(1, 1)处取得极值，大值还是极小值.

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