第四章 特殊的概率密度函数

第四章 特殊的概率密度函数

实验数据处理方法第四章 特殊的概率密度函数 4.7 正态分布(高斯分布)(Normal or Gaussian distribution)

第四章 特殊的概率密度函数

4.7 正态分布(高斯分布)(Normal or Gaussian distribution) 概率密度函数：

1 12 ( x )2 2 N ( , ) f ( x) e ( x ) 2 2

性质：1、期望值: 2、方差：

E(x)

V(x) 2 x F(x) ( ) 3、累积分布：

( z )

1 2

z

e

1 x2 2

dx

误差函数

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4.7 正态分布(高斯分布)(Normal or Gaussian distribution) 标准正态分布：(Standard Normal Distribution)N(0,1)令

y

x

得标准正态概率密度函数

1 1 y2 2 N(0,1) g (y ) e 2

=0, =1的正态分布

累积标准正态分布函数：G (y) g( y ')dy ' y y

1 1 y 2 2 e dy 2

G( y ) 1 G( y )

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4.7 正态分布(高斯分布)(Normal or Gaussian distribution) G(y)的应用：1、设x是服从正态分布的随机变量，求x落于区间[a,b]内的概率

p(a x b) p( x b) p( x a) p( x

b

) p(

x

a

)

b /

g ( y' )dy' ) G( a

a /

g ( y' )dy'

p ( a x b) G (

b b

a G( ) G( ) 1 1 区间： 2 区间： 3 区间：

) G ( y ) 1 G ( y )

p( x ) 2G(1) 1 0.6827p( 2 x 2 ) 2G(2) 1 0.9545p( 3 x 3 ) 2G(3) 1 0.9973

3 规则

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4.7 正态分布(高斯分布)(Normal or Gaussian distribution)2、已知概率值，求相对于平均值对称的区间 [ a, a]

G ( ) G ( ) 2G ( ) 1 a G( ) 1 2 (1 )查表可得出 = 0.9 =0.95 =0.99 =0.999a

a

a

a

a = 1.645 = 1.960 = 20576 = 3.290

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4.7 正态分布(高斯分布)(Normal or Gaussian distribution) 正态变量加法定理：如果某一随机变量是一些正态变量的函数，该变量的分布形式是什么？ 如果是线性函数 加法定理 设x1,x2,…xn是相互独立的正态变量

xi N ( i , i )则

y a i xii 1n

n

也是服从正态分布的变量，其平均值和方差分别为

E ( y ) ai u ii 1

V ( y ) a 2 i 2 ii 1

n

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4.7 正态分布(高斯分布)(Normal or Gaussian distribution)例：正态分布样本的样本平均值 x 和方差 s 的特征。2

设 n 个独立的随机变量都服从正态分布，其平均值和方差分别为 和 2 。对于由这n个量构成的正态样本

1 n x xi n i 1n

1 n s ( xi x ) 2 n 1 i 12

由正态变量的加法定理，样本平均值也是正态变量

E ( x ) ai ui i 1

V (

x ) a i i 2 2 i 1

n

2n

2

ai

1 , i n

x 的分布服从 N ( , n )

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4.7 正态分布(高斯分布)(Normal or Gaussian distribution)

可以证明：

1、

(n 1) s 2

2

服从自由度为n-1的 2分布；

2 2、 x 和 s 是相互独立的随机变量

定理：如果独立的随机变量服从相同的正态分布，则统计量 x 和 s 2 是相互独 立的； 反过来，如果随机样本的平均值和方差是相互独立的，则这一样本所代 表的总体一定是正态分布。

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4.7 正态分布(高斯分布)(Normal or Gaussian distribution) 中心极限定理(Central Limit Theorm)设x1,x2,…… xn是一组n个独立的随机变量，xi的平均值和方差分别为 μi和 i,则当n→∞时，变量n n xi i 1 i 1

i

i 1

n

2 i

服从标准正态分布N(0,1)例：高斯型随机变量产生器 设x 是在[0,1]之间均匀分布的随机数2 1 E( x) 1 V ( x ) 12 2

对n个x的取值xi(i=1,2,….n)定义随机变量 n n y xi 2 i 1121 12

n

在n→∞时，服从正态分布，在实际应用时，可取n=12

z xi 6i 1

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