2_5矩阵的初等变换与初等矩阵

第5节

矩阵的初等变换与初等矩阵

一、初等变换二、初等矩阵初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性

三、求逆矩阵的初等行变换法

《线性代数》

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5.1

初等变换

定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列);(2)以数k 0乘矩阵的某一行(列); (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 交换第i行与第j行记为ri rj . 例如

1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7《线性代数》

———

r2 r4

1 5 -1 -1 1 -9 3 7 3 8 -1 1 1 -2 1 3下页 结束

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5.1

初等变换

定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列);(2)以数k 0乘矩阵的某一行(列); (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 交换第i列与第j列记为ci cj . 例如

1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7《线性代数》

———

c1 c3

-1 5 1 -2 -1 8 3 -9下页

1 -1 1 3 3 1 1 7结束

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5.1

初等变换

定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列);(2)以数k 0乘矩阵的某一行(列); (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 用数k乘以第i行记为kri . 例如

1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7《线性代数》

———

4r2

1 5 -1 -1 4 -8 4 12 3 8 -1 1 1 -9 3 7下页

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结束

5.1

初等变换

定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列);(2)以数k 0乘矩阵的某一行(列); (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 用数k乘以第i列记为kci . 例如

1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7《线性代数》

———

4c3

1 5 -4 -1 1 -2 4 3 3 8 -4 1 1 -9 12 7下页 结束

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5.1

初等变换

定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列);(2)以数k 0乘矩阵的某一行(列); (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 第i行的k倍加到第j行记为rj kri . 例如

1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7《线性代数》

———

r3-3r1

1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7下页 结束

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5.1

初等变换

定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列);(2)以数k 0乘矩阵的某一行(列); (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 第i列的k倍加到第j列记为cj kci . 例如

1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7《线性代数》

———

c3 c1

1 5 1 -2 3 8 1 -9下页

0 -1 2 3 2 1 4 7

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定理3 任意一个

m n 矩阵都可以经过一系列的初等变换

化成下述形式

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 它称为矩阵A的标准形(1的个数可以是零).

《线性代数》

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例如：

2 1 0 1 r2 r1 1 0 0 -1 — 0 0 4 6

1 0 0 -1 2 1 0 1 0 0 4 6 1 0 0 0 0 1 0 3 0 0 4 6 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

r2-2r 1

—

1 0 0 -1 c4+c 1 0 1 0 3 — 0 0 4 6 1 0 0 0 1/4c3 c4-6c3 0 1 0 0 — 0 0 4 6

c4-3c 2

—

《线性代数》

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5.2初等矩阵(或初等方阵).

初等矩阵

定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 例如，下面是几个4阶初等矩阵：

E=

1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1

———

r2 r4

1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 1 0下页

0 1 =E(2, 4) 0 0 0 1 =E(2, 4) 0 0结束

1 0 E= 0 0《线性代数》

0 0 c2 c4 ——— 0 1返回

5.2初等矩阵(或初等方阵).

初等矩阵

定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 例如，下面是几个4阶初等矩阵：

E=

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1

———

4 r3

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 4 0 0 0 4 0下页

0 0 =E(3(4)) 0 1 0 0 =E(3(4)) 0 1结束

E=

0 0 4 c3 ——— 0 1返回

《线性代数》

5.2初等矩阵(或初等方阵).

初等矩阵

定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 例如，下面是几个4阶初等矩阵：

1 0 E= 0 0 E= 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1

———

r2 kr4

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 k

0 0 1 0 0 0 1 0下页

0 k =E(2,4(k)) 0 1 0 0 =ET(2,4(k)) 0 1结束

0 0 c2 kc4 ——— 0 1返回

《线性代数》

初等矩阵的可逆性初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵. 这是因为，初等矩阵的行列式及逆矩阵分别为:

|E(i, j)|=- 1;|E(i(k))|= k (k≠0) ;

E(i, j)-1=E(i, j); E(i(k))-1=E(i(k -1)); E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)) .

|E(j,i(k))|=1 .

《线性代数》

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定理1 设A是一个m n矩阵，对A施行一次初等行变换相当于

用相应的m阶初等矩阵乘矩阵A;对A施行一次初等列变换相当于 用矩阵A乘相应的n 阶初等矩阵的转置矩阵.

a11 a12 a13 a14 例如，设 A = a21 a22 a23 a24 a a a a 31 32 33 34 0 1 0 a11 a12 a13 a14 …… 此处隐藏：1867字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……