高数 第二节 函数极限

1.2 函数极限1.2.1 函数极限的概念这一节, 我们以无穷小的概念为工具介绍一般 的极限理论. 定义1.6 设 f ( x ) 在点 的某个空心邻域内有定义,

, A 为常数. 如果当 x 时, f ( x ) A为无穷小则称当x 时 f ( x )的极限为A,

记作

lim f ( x ) A,x

或

f ( x ) A ( x ).

使用数学语言进行描述, 定义1.6可以写为:

设 f ( x ) 在点 的某个空心邻域内有定义, A 为常数.如果 0, 存在点 的空心邻域 U ( ),当 x U ( ) 时 , 有

f ( x) A ,

则称当x 时, f ( x )的极限为A.在定义1.6, 如果令 f ( x ) A, 则有lim f ( x ) A f ( x ) A x

其中 是当 x 时的无穷小.

x x0

lim f ( x ) 与 lim f ( x )分别称为 f (x)在点 x0 x x0

的右极限与左极限. 由定义1.6,x x0

lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x) A x x0 x x0

特别地, 我们有下面两个简单的极限: x x0 ( x0 )

lim C C , (C 为常数 );

x x0 ( x0 )

lim x x0

x 例1 证明 lim 不存在. x 0 x

y

证

x x lim lim x 0 x x 0 x lim ( 1) 1 x 0

1

o 1

x

x x lim lim lim 1 1 x x x 0 x 0 x 0x 左右极限存在但不相等, 所以, lim 不存在. x 0 x

x 1 例2 用定义验证: lim 2 1. x x 1证 因

2

2 x2 1 2 2, 1 2 2 x 1 x 1 x

2 而 lim 2 0, x x故

x2 1 0, 所以 lim 2 1 x x 1

x2 1 lim 2 1. x x 1

例3 证明: 当 x0 0, lim x x x0

x0 .

证

因 x0 0, 且 x x0, 不妨设 x 0.x x0 x x0

由

x x0

x x0

x x0 x0

,

所以 lim ( x x x0

x0 ) 0,

故 limx x0

x x0 .

x 1 1 例4 用定义验证: lim 2 . x 1 x 1 2证 于是1 因 x 1, 不妨设 x 1 . 2

x 1 x 1 1 1 x 1 1 x 1 , 2 3 x 1 2 2 x 1 2 1 1 2x 1 1 lim 2 . x 1 x 1 2

x 1 1 所以 lim 2 0, 故 x 1 x 1 2

例5 证明 lima 1, 其中 a 0 为常数.n

1 n

证 当 a 1 时, 结论显然成立. 先证 a 1 的情形. 令 t n a 1, 则 a (t n 1)n 1 ntn ,a 1 (a 1) 0, 即 lima 1. , 所以 lim 于是 t n n n n 1 1 当 0 a 1 时, 令 B , 则 B 1, 有 lim( B n 1) 0, a n 1 n

1 n

1 n

而

a 1 1 n

1 n

1 B1 n

1

B 1 B1 n

1 n

B 1,

1 n

a 1. 同样有 lim n

几个极限不存在的例子:

1. lim e x ; 2. lim arctan xx x

因

x

lim e x 0,

x

lim e x .2 ,x

x 1 x

lim arctan

x

lim arctan x y

2y e1 x

1 3. lime ; 4. limarctan x 0 x 0 x因 lim x 0 1 ex

e 0, lim x 01 x x

1 x

11 2

但要注意到: lime 1.

o

1

x

1 lim arctan , x 0 x 2

1 lim arctan x 0 x 2

1 5. limsin x 0 x

y sin

1 x

1.2.2 函数极限的性质与运算本节主要针对 x x0 的情形讨论极限的性质与运算, 但所有的结果都可以平行推广到一般情况.

定理1.9 (唯一性) 若 lim f ( x ) 存在, 则极限值是唯一的.x x0

证 反证法.

设 lim f ( x ) A, lim f ( x ) B, 且 A B.x x0 x x0

则 f ( x ) A , f ( x ) B 都是无穷小.

于是 B A 为无穷小, 与 A B 矛盾.

定理1.10 (局部有界性) 若 lim f ( x ) 存在, 则 f ( x )在 x0的某个空心邻域x x0

内有界.lim f ( x ) A, 则 lim ( f ( x ) A) 0. 证 设x x x x0 0

因为 ( f ( x ) A) 在点 x0 某空心邻域内有界, 所以, f ( x ) 在该空心邻域内有界.

定理1.11 (局部保号性)1. 设 lim f ( x ) A, 且 A 0, 则 0,当 x U ( x0 , )时 , f ( x )与 A 同号.x x0

2. 设 f ( x ) 0(或 f ( x ) 0), x U ( x0 , ),且 lim f ( x ) A, 则A 0(或 A 0).

证 只需证第一部分. 不妨设 A 0.因 lim f ( x ) A, x x0 A f ( x ) A 所以 为无穷小. 对 0, 0, 2 A f ( x) A , 当 x U ( x0 , )时 , 2 A A A 即 A f ( x ) A , 于是 f ( x ) 0. 2 2 2

x x0

1.2.3 极限的运算法则定理1.12 (极限四则运算法则)

lim f ( x ) A, lim g( x ) B, 则有 设 x x x x0 0

(1) lim [ f ( x ) g( x )] A Bx x0

( 2) lim [ f ( x ) g( x )] A Bf ( x) A ( 3) lim , ( B 0) x x0 g ( x ) B 证 由 lim f ( x ) A, lim g( x ) B, 令 x x x x0 0

x x0

f ( x ) A , g( x ) B 其中 0, 0 ( x x0 ).

于是, 有(1) f ( x ) g( x ) ( A ) ( B ) ( A B) ( )而 0 ( x x0 ), 所以

( 2)

f ( x ) g( x ) ( A ) ( B )

x x0

lim [ f ( x ) g( x )] A B

A B A B 而 A B 0 ( x x0 ), 所以f ( x) A A A B A g( x ) B B B B( B )x x0

lim [ f ( x ) g( x )] A B

( 3)

而 0 ( x x0 ),且 B 0, 则存在 x0的某个空心邻域,1 2 B 从而 2, 使得 , B( B ) B 2

B A 是无穷小, 又因B A 是无穷小, 故 B( B ) f ( x) A 所以 lim , ( B 0) x x0 g ( x ) B

推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常

数, 则x x0

x x0

lim[cf ( x )] c lim f ( x )x x0

即: 常数因子可以提到极限记号外面.