第一章 函数与极限分析基础

函数 — 研究的对象 极限 — 研究的方法 连续 — 研究的桥梁

第一章

第一节 映射与函数一、集合 二、函数 三、反函数与复合函数 四、初等函数2

一、 集合1. 集合的概念

定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集*表示 M 中排除 0 的集 ; M

M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .3

表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an (2) 描述法： x x 所具有的特征 M

ai

n i 1

自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , n

例: 整数集合 Z x x N 或 x N p p Z , q N , p 与 q 互质 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理数或无理数 4

2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 B A .若 例如 , 且 , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . ,

显然有下列关系 :

定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:

并集 A B x交集 A B x 差集 余集

或

A B

B AA\ BA B

且且 x B

A \ B xc BA

A \ B ( 其中B A )

直积

A B ( x , y) x A , y B

Ac BAB

B

特例:

R R

记

R

2

A B A6

为平面上的全体点集

3、区间与邻域 (1)区间 根据所研究的问题条件， 任何一个变量的取值都有 一定的范围。 如北京到天津铁路的全长为 137 公里;弹簧秤能承担的总重量. 介于某两个定数(点)之间的一切实数(点) 定义4 称为区间。 而那两个定数(点)称为这个区间的端点。

以 a, b 为端点的区间：开区间 ( a , b ) x

a x b

a a

b b7

x x

闭区间 [ a , b ] x a x b

半开区间

无限区间

a a a 点的 邻域

(

)

去心 邻域其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 . 左 邻域 : 右 邻域 :8

(2)绝对值设 a 是一个实数，数轴上 a 所对应的点到原点的距离 称为 a 的绝对值，记为：a

a a 0 a a a a 02

一般： a a

x a a x a a 0 x x x a a x 0

x a x a 或 x a9

数轴上点 x 到点 a 的距离为 x a

x a r

r x a ra r x a r

x a r

x a r x a rx x

x a r x a r

x

a r

a

a r

二、函数 1、函数的定义 设 x 与 y 是两个变量，当 x 在一定范围D

内任取定一 数值时， y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应。

y 则称 y 是 x 的函数。 x为自变量； 为因变量, D为定义域。 记为 y f ( x) , x D因变量 函数的两要素 定义域 自变量 定义域 f ( D ) 称为值域

使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.11

对应规律 的表示方法: 解析法 、图象法、列表法

如, 绝对值函数

定义域 值 域 2、函数的定义域的求法 与它对应，则称 y f x 在 x x0 处有定义。

函数 y f x 若

x x0 时，函数有确定的值 f x0

使函数有定义的一切实数的全体称为函数的定义域。12

3、 函数符号 y = f ( x ) 中 “ f “表示 y 与 x 之间的对应规律。 y y x 等。 也可写成 y x y x

3 2 2 6 则： f a 5 a 3 2 a 2 6 5a3 2a 2 6 f x 1 5 x 1 3 2 x 1 2 6 5 x3 5 x 2 7 x 3在不至于混淆的情况下， 同一个函数关系可采用不同的表示法。 如上例可写成： g x 5 x3 2 x 2 6

例如： f x 5 x3 2 x 2 6

f f 5

若讨论同样的变量，不同的规律： 例： A r 2 A 2 r A f ( r)

A ( r )13

4、函数值

值与之相对应， 则称此值为 y f x 在 x0 处的函数值记为： f x0 或

y 当 x 在D内取定一个数值 x0时， f x 有确定的 f x x x 0x x0 f x0

y

f x

x x0

当 x 取遍 D 内的各个数值时， 对应的函数值的全体

构成了函数 y 的值域 f ( D ).注： 1、当自变量的值改变时， 函数值不一定改变。

f x C 为 x 的函数. 即： x , 对应的函数值均为常数C.

5、函数图形:

y f ( x) , x D

C ( x , y ) y f (x) , x D

y y

y f ( x)

a x b ( D [a, b] )

x

例.