宁夏六盘山高级中学

2015-2016学年第二学期高三第一次模拟测试卷

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项

是符合题目要求的.

1.已知集合M 0,1,2,3,4 ,N 1,3,5 ,P M N，则P的子集共有（ ） A．3 B．4 C．7 D．8

(2 i)2

2.复数z （i为虚数单位），则z （ ）

i

A．5 B．25 D

4.经过圆x2 2x y2 0的圆心C，且与直线x y 0垂直的直线方程是（ ）

A．x y 1 0 B．x y 1 0 C．x y 1 0 D．x y 1 0 5.已知 an 是公差为1的等差数列，Sn为 an 的前n项和，若S8 4S4，则a10 （ ） A．

1719

B．12 C．10 D． 22

6.右边程序框图的算法思路源于古希腊数学家欧几里得的“辗转相除法”，执行该 程序框 图，若输入的m,n分别为153，119，则输出的m （ ）

A．0 B．2 C．17 D．34

7.设x R，向量a (x,1),b (1, 2)，且a b，则a b （ ） A．．10

8.某校高一年级8个班参加合唱比赛得分的茎叶如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）

A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．93.5和91.5 D．93.5和92

x 0

9.设变量x,y满足约束条件 x y 0，则z 3x 2y的最大值为（ ）

2x y 2 0

A．0 B．2 C．4 D．6

x2y22

10.已知双曲线2 2 1(a 0,b 0)在左顶点与抛物线y 2px(p 0)的焦点的距

ab

离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为( 2,

1)，则双曲线的焦距为

（ ）

A

．

． C

．

．11.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是

(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，

则得到的正视图可以为（ ）

A． B． C． D．

12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x 0时，f(x) ex(x 1)，给出下列命题： ①当x 0时，f(x) ex(1 x)；②函数f(x)有2 个零点；

③f(x) 0的解集为( 1,0) (1, )；④ x1,x2 R，都有f(x1) f(x2) 2．其中正确命题的序号是（ ）

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共４小题，每小题5分． 13.已知tan 2，则

sin cos

_________．

sin cos

14.平面 截球O所得的截面圆的半径为1，球心O到平面

为_________．

22

15.已知函数f(x) x(x a)(x b)的导函数为f (x)，且f (则a 2b的最小值0) 4，

为_________．

16.如图所示是毕达哥达斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形， ，如此继续，若共得到1023个正方形，设初始正方

，则最小正方形的边长为________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a b c 8．

5

，求cosC的值； 2

92B sinBcos2 2sinC，（2）若sinAcos且 ABC的面积S sinC，求a和b的值．

22

（1）若a 2,b 18.（本小题满分12分）

某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查 结果如下表所示：

（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选 用甜品的饮食习惯方面有差异”；

（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1

人喜欢甜品的概率．

n(ad bc)2

， K

(a b)(c d)(a c)(b d)

2

19.（本小题满分 12分）

如图，BC为圆O的直径，D为圆周上异于B、C的一点，AB垂直于圆O所在的平面，

BE AC于点E，BF AD于点F．

（1）求证：BF 平面ACD；

（2）若AB BC 2, CBD 450，求四面体BDEF的体积． 20.（本小题满分12分）

x2y2

已知椭圆2 2 1(a b 0)的左焦点为F( 1,0)，且椭圆上的点到点F的距离最小值

ab

1．

（1）求椭圆的方程；

)，（2）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A,B，点M( 0证明：MA MB

为定值．

21.（本小题满分12分） 设函数f(x) x(e 1) ax． （1）若a

x

2

5

4

1

，求f(x)的单调区间； 2

（2）若当x 0时，f(x) 0，求a的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）

如图，AB是 O的一条切线，切点为B，ADE,CFD都是 O的割线，AC AB．

（1）证明：AC2 AD AE； （2）证明：FG//AC． 23.（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为 cos(

3

) 1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点．

（1）写出C的直角坐标方程，并求出M,N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程． 24.（本小题满分10分） 已知a和b是任意非零实数． （1）求

2a b 2a b

a

的最小值；

（2）若不等式2a b 2a b a(2 x 2 x)恒成立，求实数x的取值范围．

参考答案

一、选择题

二、填空题

13． 3 14． 15．4 三、解答题

17．（本题满分12分）

解：（1）由题意可知c 8 (a b)

7

． 2

1 cosB1 cosAsinA sinB 2sinC，

22

化简得sinA sinAcosB sinB sinBcosA 4sinC． 因为sinAcosB cosAsinB sin(A B) sinC，

由正弦定理可知a b 3c，又a b c 8，所以a b 6． 由于S

19

absinC sinC，所以ab 9，从而a2 6a 9 0，解得a 3，所以b 3． 22

18．（本题满分12分）

解：（1）将2 2列联表中的数据代入公式计算，得

n(n11n22 n12n21)2100 (60 10 20 10)2100

x 4.762，

n1 n2 n 1n 270 30 80 2021

2

由于4.762 3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．

（2）从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间

(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a1,b1,b2), ，

(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)

其中ai表示喜欢甜品的学生，i 1,2，bj表示不喜欢甜品的学生，j 1,2,3．

由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．

用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则

A (a1,b1,b2),(a1,b1,b3,(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3) ，

事件A由7个基本事件组成，因而P(A) 19．（本题满分12分）

（1）证明：∵BC为圆O的直径，∴CD BD，

∵AB 圆O所在的平面，∴AB CD，且AB BD B，

∴CD 平面ABD，又∵BF 平面ABD，∴CD BF，又∵BF AD，且

7

． 10

AD CD D，

∴BF 平面ACD． （2）方法一：

∵AB BC 2, CBD

450，∴BD CD BE AC，∴E为AC中点， 又∵CD 平面ABD，∴E到平面BDF

的距离为

1， CD

2BD221

在Rt ABD中，由于BF

AD，得DF AD，

AD311111

VE BDF S BDF S ABD 2

，

33233329

方法二：

∵AB BC 2, CBD

450，∴BD CD ∵BE AC，∴E为AC中点，∴E到边AD

的距离为

1， CD

22

在Rt ABD中，由于BF AD，得BF

AB BD，

AD3BD22， DF

AD3由（1）知BF 平面DEF，VB DEF BF S DEF 20．（本题满分12分）

22

解：（1）因为圆x y 2x 0的圆心为( 1,0)，半径为r 1，所以椭圆的半焦距c 1，

1

3111

( ．

329

又椭圆上的点到点F

1，所以a c

1，即a

x2

y2 1． ．所以，所求椭圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．22

分

（2）①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x 1，

可求得A( 1,

B( 1, ， 22

557此时，MA MB ( 1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 ( 1 , ．

4416

分

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y k(x 1)，

y k(x 1)

由 x2得

2

y 1 2

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 (1 2k2)x2 4k2x 2k2 2 0． ．

4k22k2 2

,x1x2 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1 x2 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．72

1 2k1 2k2

分

5555

MA MB (x1 ,y1) (x2 ,y2) (x1 )(x2 ) y1y2

4444

55

x1x2 (x1 x2) ()2 k(x1 1) k(x2 1)

44

525

(1 k2)x1x2 (k2 )(x1 x2) k2

416

因为 22

(2k 2)54k25

(1 k2) (k2 )( ) k2 22

1 2k41 2k16

4k2 225 21 2k16

257 2

1616

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以，MA MB为定值，且定值为 分

21．（本题满分12分） 解：（1）a

7

． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1216

112xxxx

时，f(x) x(e 1) x，f (x) e 1 xe x (e 1)(x 1)．当22

x ( , 1)时f (x) 0；当x ( 1,0)时，f (x) 0；当x (0, )时，f (x) 0．故f(x)在( , 1),(0, )单调增加，在( 1,0)单调减少．

（2）f(x) x(ex 1 ax)．令g(x) ex 1 ax，则g (x) ex a．若a 1，则当

x (0, )时，g (x) 0，g(x)为增函数，而g(0) 0，从而当x 0时g(x) 0，即

f(x) 0．

若a 1，则当x (0,lna)时，g (x) 0，g(x)为减函数，而g(0) 0，从而当x (0,lna)时g(x) 0，即f(x) 0． 综合得a的取值范围为 ,1 ． 22．（本题满分10分）

（1）证明：因为AB是 O的一条切线。AE为割线，

22所以AB AD AE，又因为AB AC，所以AD AE AC，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5

分

（2）由（1）得

ADAC

， ACAE

∵ EAC DAC，∴ ADC ACE，∴ ADC ACE， ∵ ADC EGF，∴ EGF ACE，

∴GF//AC． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23．（1）由 cos(

1) 1得 (cos ) 1， 321x y

1，即x 2． 22

从而C

的直角坐标方程为

0时， 2，所以M(2,0)．

2

时，

，所以N(,)．

323

． （2）M点的直角坐标为(2,0)，N

点的直角坐标为所以P

点的直角坐标为 ，则P

点的极坐标为)． 6

所以直线OP的极坐标方程为

6

, ( , )．

24．解：（1）∵2a ba b b a2 b a4当且仅当(2a b)(2a b) 0时取等号，

对于任意非零实数a和b恒成立，

∴

2a b 2a b

a

的最小值等于4．

（2）∵2 x 2 x

2a b 2a b

a2a b 2a b

a

恒成立，

故2 x 2 x不大于

的最小值．

由（1）可知

2a b 2a b

a

的最小值等于4．

实数x取值范围即为不等式2 x 2 x 4的解， 解不等式得 2 x 2．