2012高考数学考前三个月专题复习课件4(3)：数列、推理与证明

§3 推理与证明 真题热身1.(2011· 陕西)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

n+(n+1)+ +(3n-2)=(2n-1)2 照此规律，第 n 个等式为________________________________.解析 ∵1=12,2+3+4=9=32,3+4+5+6+7=25=52, ∴第 n 个等式为 n+(n+1)+ +(3n-2)=(2n-1)2.

2.(2009· 浙江)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4, S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比以上结论有：设等比数列

T8 T12 T16 T4 T8 {bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,_____,_____, 成等比数列. T12 T8 T12 解析 根据类比原理知该两空顺次应填 ， . T4 T 8

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2.反证法 反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的 一般步骤是： (1)分清问题的条件和结论； (2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定 结论); (3)从假定和条件出发， 经过正确的推理， 导出与已知条件、 公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推 导矛盾); (4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错 误.既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论 成立).

3.数学归纳法 (1)当 n 取第一个值 n0(例如 n=1)时，证明命题成立； (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立， 并证明当 n=k+1 时，命题也成立.于是对一切 n∈N*,n≥n0,命题都成立.这 种证明方法叫做数学归纳法. 运用数学归纳法证明命题要分为两步.第一步是递推的基础， 第二步是递推的依据，这两步是缺一不可的.

分类突破一、合情推理 例 1 (1)已知数列{an}为等差数列，若 am=a,an=b(n-m≥1, nb-ma * m,n∈N ),则 am+n= .类比等差数列{an}的上述结论， n-m 对于等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),若 bm=c,bn=d(n-m≥2, m,n∈N*),则可以得到 bm+ n=________. 1+x (2)设 f(x)= ,又记 f1(x)=f(x),f(k+ 1)(x)=f[fk(x)],k= 1-x 1,2, ,则 f2 011(x)=________.

nb-ma 解析 (1)观察等差数列{an}的性质：am+ n= ,则联想 nb- n-m dn ma 对应等比数列{bn}中的 m,而{an}中除以(n-m)对应等比数列中 c 开(n-m)次方. 1+x 1 1+ 1- 1+x 1-x 1 1 x x-1 (2)计算 f2(x)=f( )= =- , 3(x)=f(- )= f = , x x 1 x+1 1-x 1+x 1+ 1- x 1-x x-1 1+ x+1 1+x f4(x)= =x,f5(x)=f1(x)= , x-1 1-x 1- x+1 x-1 x-1 * 归纳得 f4k+3(x)= ,k∈N ,从而 f2 011(x)= . x+1 x+1 n-m dn x-1 答案 (1) (2) cm x+1

归纳拓展

1.类比可以是形式的类比，用于发现结论；也可以是

方法的类比，用于寻找方法.常见的类比有平面 空间，等差数 列 等比数列，实数 复数，向量点乘积 实数积等. 2.归纳和

类比是常用的合情推理.从推理形式上看，归纳是由 部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理； 而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合 情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和 推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.

x 变式训练 1 (1)(2011· 山东)设函数 f(x)= (x>0),观察： x+2 x f1(x)=f(x)= , x+2 x f2(x)=f(f1(x))= , 3x+4 x f3(x)=f(f2(x))= , 7x+8 x f4(x)=f(f3(x))= , 15x+16 根据以上事实，由归纳推理可得： 当 n∈N*且 n≥2 时，fn(x)=f(fn- 1(x))=________. (2)(2009· 江苏)在平面上，若两个正三角形的边长比为 1∶2,则 它们的面积比为 1∶4,类似地，在空间中，若两个正四面体的 棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为__________.

解析

(1)依题意， 先求函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的

通项公式，由 1,3,7,15, ,可推知该数列的通项公式为 an=2n -1.又函数结果的分母中常数项依次为 2,4,8,16, ,故其通项 公式为 bn=2n. x 所以当 n≥2 时，fn(x)=f(fn-1(x))= n . (2 -1)x+2n (2)∵两个正三角形是相似的三角形， ∴它们的面积之比是相似比 的平方.同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相 似比的立方，所以它们的体积比为 1∶8. x 答案 (1) n (2)1∶8 (2 -1)x+2n

二、直接证明 例 2 已知数列{an}和{bn}满足 a1=2,an-1=an(an+1-1),bn= an-1,数列{bn}的前 n 项和为 Sn. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)设 Tn=S2n-Sn,求证：Tn+1>Tn.(1)解 由 bn=an-1,得 an=bn+1,代入 an-1=an(an+1 -1)得 bn=(bn+1)bn+1.整理得 bn-bn+1=bnbn+1, 由题意知，bn≠0,(否则 an=1,与 a1=2 矛盾) 1 1 从而得 - =1,∵b1=a1-1=1, bn+1 bn 1 ∴数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差数列. bn 1 1 ∴ =n,即 bn= . bn n

1 1 1 (2)证明 ∵Sn=1+ + + + , 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 ∴Tn =S2n -Sn =1+ + + + + + + -(1+ + 2 3 n n+1 2n 2 3 1 1 1 1 + + )= + + + . n n+1 n+2 2n 方法一 (综合法) 1 1 1 1 1 1 ∵Tn+ 1-Tn= + + + -( + + + ) 2n n+2 n+3 2n+2 n+1 n+2 1 1 1 = + - 2n+1 2n+2 n+1 1 1 = - 2n+1 2n+2 1 = >0, (2n+1)(2n+2) ∴Tn+ 1>Tn.

方法二

(分析法)

1 Tn+1>Tn S2n+2-Sn+ 1>S2n-Sn S2n+2-S2n>Sn+ 1-Sn + 2n+1 1 1 1 1 > > 2n+2>2n+1 2>1,显然成立， 2n+2 n+1 2n+1 2n+2 故 Tn+1>Tn.归纳拓展 综合法和分析法是直接证明常用的两种方法， 我们常 用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过 程，有时候，分析法和综合法交替使用.

1 2 变式训练 2 在

数列{an}中，a1=1,an+ 1=1- ,bn= , 4an 2an-1 其中 n∈N*. (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求证：在数列{an}中对于任意的 n∈N*,都有 an+1<an. 2 2 证明 (1)因为 bn+1-bn= - 2an+1-1 2an-1 2 2 4an 2 = - = - 1 2an-1 2an-1 2an-1 2(1- )-1 4an

=2(n∈N*). 所以数列{bn}是等差数列.

(2)要证 an+1<an,只要证 an+1-an<0. 2 因为 a1=1,所以 b1= =2, 2a1-1 所以 bn=2+(n-1)×2=2n. 2 2 1 由 bn= ,得 2an-1= = (n∈N*), bn n 2an-1 n+1 所以 an= , 2n n+2 n+1 -1 所以 an+1-an= - = <0, 2n 2n(n+1) 2(n+1) 所以在数列{ …… 此处隐藏：1707字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……