组合图形中圆的周长与面积

组合图形中圆的周长与面积

戴龙

一、学习目标：

1．巩固加深对圆的周长与面积的理解与计算，掌握在组合图形中求圆的周长及面积的方法。

2．提高自己思维的灵活性。

二、知识基础：

1．什么叫圆的周长？围成圆的曲线的长叫圆的周长。 什么叫圆的面积？圆所占平面的大小叫圆的面积？ 2．怎样求圆的周长和面积？ 圆的周长：c=πd或c=2πr。

圆的面积：S r

3．一个边长2分米的正方形剪下一个最大的圆，圆的周长为（6.28）分米。面积为（3.14）平方分米。

2

4．在一个正方形内做一个最大的圆，圆的面积是正方形面积的（

） 4

2 r正方形的边长就是圆的直径，设圆的直径为2r，半径为r，圆面积为 正方形边长就为2r，正方形面积为(2r) (2r)所以圆面积 正方形面积

4r2

r2

4r

2

4

三、方法例谈

例1：将半径分别为3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分周长。

组合图形中圆的周长与面积

请认真看图：阴影部分周长是由哪些组合起来的？

怎样分别求出这几部分的长度？

O1B 3厘米

O2A O1A O2O1 3 2 1厘米

AC=2—1=1厘米

CO1 2 r1；

11

CO1 r1 CO2 r2 22

11

CO1 CO2 r1 r2 3.14 3 3.14 2 15.7cm 22

阴影部分周长：O1B AC 两个半圆 3 1 15.7 19.7厘米

答：阴影部分周长为19.7厘米

例2：如图：从点A到点B沿大圆周长和沿着中、小圆的周长走，路程相同吗？

①认真看图：大圆周是由哪几部分组成？中、小圆周是由哪几部分组成？ ②这题是要我们求什么？

求大圆的半周长，求中、小圆的半周长，然后进行比较大小 ③怎样进行计算呢？

设中圆直径为D，小圆直径为d，则：大圆直径为D+d，所以

111C大 (D d) D d

2221111C中 D C小 d C中 C小 D d

2222

所以：C大 C中 C小

组合图形中圆的周长与面积

这就是说两种求法经过的路程是相同的。 小结：求组合图形的周长时要首先认真看图，认真观察看所求周长是由哪几部分组成的，最后确定解答方法。

尝试练习：一个圆的周长增加了10厘米，这个圆的半径增加了多少？ 解：这个题可以看作现在的圆周长与原来圆周长组合而成的复合图形。设现在圆周长为

C1，原来为C2，现在圆的半径为R，原来圆的半径为r。

C1 C2 10 即2πR-2πr=10

2π（R-r）=10

R r

1010

1.59cm。 2 2 3.14

答：这个圆的半径增加了1.59cm.

例3．在下列各图中，正方形边长为a，求阴影部分面积 （1） （2）

师：首先进行观察（1）（2）两图中阴影均为不规则图形，不能直接求出其面积。（1）中可用正方形面积减扇形面积。

（1）正方形面积为：a a a 扇形面积为： a 阴影面积：a

2

2

14

2

121

a (1 3.14)a2 0.215a2 44

（2）先求扇形面积，再减去空白三角形的面积：

121 a；空白三角形面积 a2 4212121122

阴影面积 a a ( )a 0.285a。

4242

扇形面积

师：在组合图形中，有些图形面积不易直接计算，可以先求出一个比它更大的图形的面

积，再减去比原图形多的那个图形的面积。简单说，先多算一点，再把多算的部分减去。

例4．在下图中，圆的半径为r，求阴影部分的面积。

组合图形中圆的周长与面积

解法I：认真观察，会发现

圆的水平直径将这个图形分为上、下两层，显然有如下关系：

上面阴影面积：半圆 三角形

12

r r2 0.57r2 2

下面阴影面积：因为圆的水平直径将圆分为上、下两部分，底为4r

11

(2r 4r) r r2 1.43r2 22

整个图形中阴影面积为：0.57r 1.43r 2r

小结：当某些图形面积不易直接计算时，可以把这个图形分成几个部分，计算各部分的面积，然后相加简单地说就是化整为零。

解法Ⅱ：将原图的上半部分以水平直径为轴顺时针旋转，使阴影部分进行拼和而成为两个三角形：

2

2

2

由此可看出所求面积是梯形面积与三角形面积的差。

如果将左图中右边带阴影三角形逆时针旋即可成为如下图：

组合图形中圆的周长与面积

显然这个大三角形的两条直角边都等于2r，所以：

S 2r 2r 2 2r

2

小结：当某些图形的面积不易直接计算时，可以把这个图形的各个部分适当地拼接成一个易于直接计算的图形，也就是说化零为整。

四、解决问题：

①如图，已知半圆的面积是78.5平方厘米，求阴影部分面积

认真观察会发现：阴影面积是先求出长方形面积，再用长方形减去半圆面积。即先多求一点。再减去多余部分。

12

半圆面积： r 78.5

2

r2 78.5 2 157 3.14 50平方厘米

长方形面积：2r r

2r2 100平方厘米

阴影面积：100-78.5=21.5平方厘米

②正方形ABCD中，BD为20厘米，另外C又在以A为圆心的圆周上，求阴影部分面积

组合图形中圆的周长与面积

以BD为底三角形BDC的高为

1

BD 10cm 2

2

所以△BDC面积为 20 10 2 100cm 正方形面积为100 2 200cm 大扇形面积为 r

2

14

2

1

3.14 400 314cm2 4

2

阴影面积为：314 200 114cm

五、知识结构：

周长：由哪几部组成

部分 多求一点，再减去多余

圆

面积化整为零

化零为整

六、结束语：

组合图形，构图不是单一的，大家要认真观各部分之间关系，或求差，或化整为零，或化零为整。有时还要综合运用，才能透过复杂现象，寻求到解决问题的办法。

同学们，这节课就上到这里，再见。