算法案例.辗转相除法

算 法 案 例第一课时

复习引入1. 回顾算法的三种表示方法： (1)、自然语言 (2)、程序框图 (三种逻辑结构) (3)、程序语言 (五种基本语句)

2. 思考： 小学学过的求两个数的最大公约数的方法？ 先用两个公有的质因数连续去除，一直 除到所得的商是互质数为止，然后把所有的 除数连乘起来.

例：求下面两个正整数的最大公约数：

(1)求25和35的最大公约数 (2)求49和63的最大公约数(1) 5

255

357

(2) 7

49

63

7

9

所以，25和35的最大公约数为5

所以，49和63的最大公约数为7

思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？ 例：如何算出8251和6105的最大公约数？

新课讲解：

一、辗转相除法(欧几里得算法)

1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个 数，用较大的数除以较小的数。若余数不为 零，则将余数和较小的数构成新的一对数， 继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则 这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。

2、步骤： (以求8251和6105的最大公约数的过程为例)

第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和 6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。

第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。

完整的过程8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333

例： 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 显然45是90和45的最大公约数，也就是 225和135的最大公约数 思考1:从上面的两个例子中可以看出计 算的规律是什么？

1813=333×5+148 333=148×2+37148=37×4+0

S1:用大数除以小数

显然37是148和37的最大公约数， S2:除数变成被除数，余数变成除数 也就是8251和6105的最大公约 S3:重复S1,直到余数为0 数

辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上 是一个循环结构。

m=n×q+r

用程序框图表示出右边的过程

8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333

r=m MOD n

m=nn=r r=0? 否

1813=333×5+148333=148×2+37 148=37×4+0

是

思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？(1)、算法步骤： 第一步：输入两个正整数m,n(m>n). 第二步：计算m除以n所得的余数r.

第三步：m=n,n=r.第四步：若r=0,则m,n的最大公约数等于m; 否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数m.

(2)、程序框图：开始 输入m,n r=m MOD n m=n n=r 否 r=0? 是 输出m 结束

(3)、程序：INPUT “m,n=“;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m

END

二、更相减损术1、背景介绍：(1)、《

九章算术》中的更相减损术： 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多， 更相减损，求其等也，以等数约之。 (2)、现代数学中的更相减损术： 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。 若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小 的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的 减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。

2、定义：

所谓更相减损术，就是对于给定的两个 数，用较大的数减去较小的数，然后将差和 较小的数构成新的一对数，再用较大的数减 去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较 小的数相等，此时相等的两数便为原来两个 数的最大公约数。

3、方法： 例: 用更相减损术求98与63的最大公约数.

解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=21 14-7=7 所以，98和63的最大公约数等于7

练习：1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数. 思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数, 然后乘以两次约简的质因数4。 2、求324、243、135这三个数的最大公约数。 思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个 数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约 数的最大公约数即为所求。

***思考：你能根据更相减损术设计程序，求两 个正整数的最大公约数吗？

(1)、算法步骤 第一步：输入两个正整数a,b(a>b); 第二步：若a不等于b ,则执行第三步；否则转 到第五步； 第三步：把a-b的差赋予r; 第四步：如果b>r, 那么把b赋给a,把r赋给b;否 则把r赋给a,执行第二步；

第五步：输出最大公约数b.