结构动力学-第五章 数值分析方法 (Part 1)

结构动力学Dynamics of Structures

第五章动力反应数值分析方法

Chapter 5 Numerical Methods for Transient Dynamic Analysis

Part 1

华南理工大学土木工程系

马海涛/陈太聪

本章主要目的及内容

目的:

了解时域分析数值方法，掌握与结构瞬态动力分析算法相关的基础知识

内容:

数值算法中的基本问题分段解析法中心差分法Newmark-β法Wilson-θ法

结构非线性动力反应计算

§5.1 数值算法中的基本问题

任意荷载作用动力反应分析方法：

Duhamel积分法–时域分析Fourier 变换法

–频域分析

共同特点：

（1）基于叠加原理：局限于线性问题（2）解析方法适用于简单结构、简单荷载工况

§5.1 数值算法中的基本问题

结构的几何非线性分析一个简单例子

§5.1 数值算法中的基本问题

结构的材料非线性–

双线性弹塑性模型

§5.1 数值算法中的基本问题

结构的非线性分析

（1）几何Geometry nonlinearity（2）材料Material nonlinearity（3）边界Boundary nonlinearity构件抗力线性问题：

{f}={f(d)}{f}=[k]{d}

{f}≠[k]{d}{f}≈{f(d0)}+[kt]{d d0}

非线性问题：

§5.1 数值算法中的基本问题

时域逐步积分法Step-by-step methods/time domain integration：（1）分段解析法（2）中心差分法（3）平均常加速度法（4）线性加速度法（5）Newmark-β法（6）Wilson -θ 法

§5.1 数值算法中的基本问题

时域逐步积分法

确定在指定时间点（时刻）上结构对动荷载的响应或者说：

对给定初始状态，即在时刻t0结构的变形、内力分布等计算在时刻t1,t2,",tS结构的响应非线性瞬态动力响应分析

Nonlineartransient dynamic analysis

§5.1

数值算法中的基本问题

§5.1 数值算法中的基本问题

时域逐步积分法的评价指标：（1）收敛性

数值解能够逼近精确解

（2）结果精度截断误差的阶数（3）稳定性（4）效率

步数增大时数值解保持其精度计算时间

隐式和显式算法-求解大规模问题时的考虑： 隐式算法：生成耦联方程组，单步工作量大 显式算法：生成一组独立方程，单步工作量小

§5.2 分段解析法

荷载离散–

抽样

P0,P1,P2,"其中Pi=P(ti)荷载线性近似ti≤t≤ti+1

(τ)=P+ατPii

αi=(Pi+1 Pi)/Δti

误差：

(0)=PPi

(Δt)=PPii+1

P≥00≤τ≤ΔtPi

§5.2 分段解析法

设结构在时间段[ti,ti+1]内为线性，其运动方程可写成

(τ)+cu (τ)+ku(τ)=P(τ)=Pi+αiτmu

(τ)τ=0=u iu(τ)τ=0=ui,u

特解

用待定常数法求特解

αi1

uP(τ)=(Pi+αiτ) 2c

kk

uc(τ)=e

ζωnτ

uP(τ)=c0+c1τ

通解

(AcosωDτ+BsinωDτ)

故全解可写成

u(τ)=uP(τ)+uc(τ)

§5.2 分段解析法

代入边界条件，得运动方程的解

u(τ)=A0+A1τ+A2e ζωnτcosωDτ+A3e ζωnτsinωDτ)

(τ)=A1+(ωDA3 ζωnA2)e ζωnτcosωDτ (ωDA2+ζωnA3)e ζωnτsinωDτu

其中Ap(p=0,1,2,3)为积分常数

Pi2ζαiA0=

kkωn

A1=A3=

αi

k1

A2=ui A0

ωD

i+ζωnA2 (u

αi

k

)

其中

ωn=ωD=ωn

§5.2 分段解析法

当τ=Δti时，有

i+CPi+DPi+1ui+1=Aui+Bu''''

i+1=Aui+Bu i+CPi+DPi+1u

A=e

ζωnΔt

ζ

sinωDΔt+cosωDΔt)

B=e

ζωnΔt

1

sinωDΔt ωD

2 1 2ζ12ζζ ζωnΔt

+e C=

ωDΔtk ωnΔt 2ζ

cosωDΔt

2

12ζ2ζ ζωnΔt2ζ 1D= 1 sinωDΔt+cosωDΔt +e k ωnΔtωnΔt ωDΔt

§5.2 分段解析法

ωA'= e ζωnΔt sinωDΔt

ζ

B'=e ζωnΔt cosωDΔt sinωDΔt

ωζ11 ζωnΔt' C= +e+

k Δt 1

cosωDΔt

1ζ ζωnΔt'

1 eD=sinωDΔt+cosωDΔt

kΔt

§5.2 分段解析法

分段解析法计算过程：（1）给定模型参数（2）给定初始条件（3）设定步数（4）求解子问题

k,m,c,Δti,Pi ut=t=u0,u

t=t0

0=u

i=0

(τ)+cu (τ)+ku(τ)=Pi+αiτmu

(τ)τ=0=u iu(τ)τ=0=ui,u

得ui+1=uτ=Δti,

（5）步数递进

i+1 i

i+1=u =Δtu

i

（6）返回至（4），求解下一步