工程数学作业（一）答案（满分100分）第2章 矩

（一）单项选择题（每小题2分，共20分）

1乘积矩阵 1 1 10

（

C. 10

24 3 中元素c 521 23

2设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则(ACB ) 1 D. (B 1) C 1A 1

3设A,B,C均为

n

阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 D.

(2ABC) 2C B A

4A,B为两个事件，则（B）成立． B. (A B) B A

5如果（ C ）成立，则事件

A与

B

互为对立事件． C.

AB 且A B U

6袋中有3个白球7个黑球，每次取一个，不放回，第二次取到白球的概率是（ 3/10 ）

7某随机试验的成功率为p(0 p 1),则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（B. 1 p3 8设随机变量X~B(n,p)，且E(X) 4.8,D(X) 0.96，则参数n与p分别是（A ）． A. 6, 0.8

9.在下列函数中可以作为分布密度函数的是 B.

f(x) sinx,0 x 2

0,

其它10用消元法得

x1 2x2 4x3 1的解 x1 为C. [ 11,2, 2]

x 2 x3 0

x 2

x3 2

x3

11线性方程组 x1 2x2 3x3 2 B. 有唯一解

x x 1

3 6

3x2 3x3 4

12A与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则 D. 秩(A) 秩() 1

13若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 14以下结论正确的是D. 齐次线性方程组一定有解

（二）填空题（每小题2分，共20分）

1

若

A为3 4矩阵，B为2 5矩阵，切乘积AC B 有意义，则C为 5×4 矩阵．

2二阶矩阵2

A 11

01

3设

12

，则

A 120(A B ) 0

6 3

40 ,B

5 18

34 3 14

4矩阵

的秩为

2 ．

2 12 402 0 33

5 时，齐次线性方程组

x有非零解．

1 x2 0

x1 x2 0

6设线性方程组AX 0中有5个未知量，且秩(A) 3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个．

7线性方程组AX b有解，X是它的一个特解，且0AX 0的基础解系为X,X

，则AX b的通解X0 k1X1 k2X2

8从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率

9.已知P(A) 0.3,P(B) 05.，则当事件相互独立，P(A|B) P(A)=0.3．

10A,B

为两个事件，且

B A，则P(A B)

11

若事件

A,B

相互独立，且

P(A) p,P(B) q，则P(A B) ．

12

.若

X~B(20,0.3)，则E(X) ．D(X) 4.2

（三）解答题（每小题8分，共48分）

⒈设，求⑴

A B；⑵A C；⑶2A 3C；⑷A 5B；⑸AB；⑹A 12 11 54(AB) C．

35 ,B 43 ,C 3 1

答案：

A B 03 66 18 A C 04 2A 3C 1716 37

A 5B 2622 AB 77 120 2312 (AB) C 5621

15180

⒉设

，求

AC BC．

A 121

103 0 1 ,B

114

2

21 1 ,C 3 21 002

解：

AC BC (A B)C 024 114 3 21

6 410 201

002

2210

3用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：

1

⑴

2 12

21 2 2 21

；

⑶

．

1

1 1 1

21 201012329

010

000 100

110

111

2 3 6

2

1

0102192 9

2

r2 r10 1 2r2 r30 0

01

2

2 9 1 9

0 30

291

3 6 2

2

231 2

0 0 1

解：（1）

1

A|I 2

2 1

0

0

1 r21 r3

21 2

10 2r r2

2r1 1 r30 0

1 0

62 321

0209129

010

221

21 32 9 0 2r3 r1 1

2r3 r2

0 0 1 0

9

A 1

010

1

9 2

9 2 9

29192

9

2 9 2

9 1

9

（2）

A 1

22 6 2617 17520 13 102 1

1 53 4

(过程略) (3)

A 1

00 1

110

0 11

0 1 00

0 0 1

4求矩阵 1

011011 1101100 1012101 2113201

的秩．

解： 1

011 1101

1012

2113

1 0r3 r4

0 0011 r r 1

12

0 r1 r3

100 2r r4 1

0101

201 0011011 1 101 1 1 0011 10

000000

011011 1

01 101 1 1 r r24 00011 10

1 112 2 1 0011011

1 101 1 1 0011 10

0011 10

R(A) 3

5．用消元法解线性方程组

x1 3x2 2x3 x4 3x 8x x 5x 1234

2x1 x2 4x3 x4 x1 4x2 x3 3x4

6 0 12 2

1

48 3r4 r3 1

1 0 r4 18 2

002739 90

0 10 1226 00

197

238

解：

1 3 2 16 3r r 1 3 2 16 3r r 1

1221

3 81 01 02r1 r35r2 r3

50 78 18 r1 r41 r4 r

21 41 12 0 5 8 10 0 14 1 32 01 3 48 0

1 0r4 11

019100

735

10

1 00 0042 124 42r r 1

41

0 15r4 r2

015 46 4 r3 r

01 14

01 3 0

1 1

1

1 x

1 y z

1

2

2

100 1 0101

001 3

000

48 1

1 0 3 18 3

0 312

6 13 08

23

1

01923 48 19r r 1

31

0 7r3 r2

78 18 5r3 r4

001 14

056 13 0

1015

0042 124

46

01 14

0011 33

方程组解为

x1 x2 x3 x4

2 1 1 3

6．设有线性方程组

为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?

解：

1

11 2 r r 11 111 12

r1 r3 r1 r3

1 1 1 1 0 11

2 111 01 1 2 11 1 1 2

0 11 (1 )

00(2 )(1 )(1 )(1 )2

r2 r3

2

2

3 1

］

当

1且 2时，

x1 3x2 x3 2x4 0

5x1 x2 2x3 3x4 0

x1 11x2 2x3 5x4 0 3x 5x 4x 0

24 1

R(A) R() 3，方程组有唯一解 当 1时，R(A) R() 1，方程组有无穷多解

7．求齐次线性方程 的一个基础解系

解：

31 2 5r r 1 1 31

12

51 23 r1 0 143r3

3r1 r4 A

1 112 5 0 143

504 3 014 3

5 2 3r2 r1 10 14

14 r2 r3

7 r2 r4 0 143 7 00 0

10 00 0

1

51 51 5 210 1r r0 10 102 7 1r

1r 1 r r31313 r32 01 0 01 0 01 142

142 14

03 01 01 00 00 003

3

1

23

4

3

3

2

方程组的一般解为 令

x3 1，得基础解系

5

14 3

0 1

0

00

0 0

00

0 0

00

0

5

x1 14x3

3

x2 x3

x4 0

8．求下列线性方程组的全部解．

x1 5x2 2x3 3x x 4x 123 x 9x12 5x1 3x2 6x3

3x4 11 2x4 5 4x4 17 x4 1

解：

1 52 311 3r r 1 52

12

31 42 5 r1 0 142r3

5r r4 1

1 90 417 0 142 536 1 1 028 4

11 5r2 r1 10

14

r2 r3

728 2r2 r4 0 14 728 00

14 56

00 391 1 91 72 107 21 2 728 1r 11 14 2 01 000 72

00 000000

2

方程组一般解为

00

00

0

令x k，x k，这里 71 k1，k2为任意常数，得方程组通解1 7 7 1 3142

x1 9x3 2x4 11 x1 k1 k2 1 292 x 19

2 k1 1k2 2 k 1 k 1 2 x 1x 1x 212234 x3 72 7 2 0 72 0k1

x4

1

k2

0

1

0

9．用消元法解线性方程组

x1 3x2 2x3 x4

3x 8x x 5x 1234 2x x 4x x1234 x1 4x2 x3 3x4

6 0 12 2

解：

2

1 3 2 16 3r r 1 3 2 16 3r r 1

1221

3 81 01 02r1 r35r2 r3

50 78 18 r1 r41 r4 r

21 41 12 0 5 8 10 0 14 1 32 01 3 48 0

1 0r4

1

48 3r4 r3 1

1 0 4 18 2

002739 90

0 10 1226 00

197

238

019100

735

10

1 00 0042 124 42r r 1

41

0 15r4 r2

46 4 r3 r

01 14

01 3 0015

1 1

1

1 x

1 y z

1

2

0000100

2

1

0101

001 3

48 1

1 0 r3 18 3

0 312

6 13 08

23

1

01923 48 19r r 1

31

0 7r3 r2

78 18 5r3 r4

001 14

056 13 0

1015

0042 124

46

01 14

0011 33

方程组解为

x1 x2 x3 x4

2 1 1 3

10．设有线性方程组

为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?

解：

1

11 2 r r 11 111 12

r1 r3 r1 r3

1 1 1 1 0 11

2 111 01 1 2 11 1 1 2

0 11 (1 )

00(2 )(1 )(1 )(1 )2

r2 r3

2

2

3 1

］

当

1且 2时，R(A) R() 3，方程组

有唯一解 当 1时，R(A) R( 1，方程组有无穷多解

11．求下列线性方程组的全部解．

x1 5x2 2x3

3x x 4x 123 x 9x12 5x 3x2 6x3 1

71

x x3 x4 1 192

1 x x 1x 2234 72

令

3x4 11 2x4 5 4x4 17 x4 1

，

解：

1 52 311 3r r 1 52

12

31 42 5 r1 0 142r3

5r1 r4

1 90 417 0 142

6 1 1 53 028 4

11 5r2 r1 10

14

r2 r3

728 2r2 r4 0 14 728 00

14 56

00 3

91 1 91 72 107 21 2 728 1r 11 14 2 01 000 72

00 000000

2

方程组一般解为

00

00

0

x3 k1x4 k2

，这里

k1

，

k2

为任意常数，得方程组通解

1 7 7 1

x1 k1 k2 1 9 2 1 2 x 19 1 1 2 1 2 k1 k2 2 k k2 1 x3 72 7 2 0

k1 1 0

x 4 0 1 0 k 2

12.设A,B,C为三个事件，试用A,B,C的运算分别表示下列事件： ⑴ A,B,C中至少有一个发生； ⑵ A,B,C中只有一个发生； ⑶

只有

A,B,C中至多有一个发生； ⑷

A,B,C中至少有两个发生； ⑸ A,B,C中不多于两个发生； ⑹ A,B,C中

发生． 解:(1) 解：设

i“第i道工序出正品”（i=1,2）

P(A1A2) P(A1)P(A2|A1) (1 0.02)(1 0.03) 0.9506

15. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．

解

A1 "产品由甲厂生产" A2 "产品由乙厂生产"

B "产品合格"(A3)P(B|A3) 0.5 0.9 0.3 0.85 0.2 0.80 0.865

：设

101101

xi 36 3.6s2 1 (xi )2 1 25.9 2.878 10i 11010 1i 19

（四）证明题（每小题4分，共12分）

1对任意方阵

A

，试证

A A

是对称矩阵．

证明：(A A')' A' (A')' A' A A A'

A A 是对称矩阵

3