同济大学第五版高等数学(下)课件D11_1常数项级数[1]

高数

第十一章 无穷级数数项级数 无穷级数 幂级数 付氏级数 表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算

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第一节 常数项级数的概念和性质一,常数项级数的概念 二,无穷级数的基本性质 三,级数收敛的必要条件 *四,柯西审敛原理 四

第十一章

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一,常数项级数的概念引例1. 引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 边形,设 a0 表示

+这个和逼近于圆的面积 A . 即

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引例2. 引例 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 1 2 2s 由自由落体运动方程 s = g t 知 t = 2 g 设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为

T = t1 + 2t2 + 2t3 +2 = g 1 + 2 1 + 1 + 2 2 ( 2)

2 [ 1+ 2( 2 +1) ] ≈ 2.63 ( s ) = g机动 目录 上页 下页 返回 结束

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定义: 定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依 次相加, 简记为 ∑un, 即n=1 ∞

, 称上式为无穷级数, 其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和

称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作 和机动

则称无穷级数

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则称无穷级数发散 . 发散 当级数收敛时, 称差值

为级数的余项 显然 余项. 余项

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例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)

( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 则部分和aa qn = 1q

从而 lim Sn = a 1q 因此级数收敛 , 其和为 a ; 1q 因此级数发散 .n→∞

从而 lim Sn = ∞ ,n→∞机动 目录 上页 下页 返回 结束

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2). 若

则 因此级数发散 ; 级数成为

因此 从而

a, Sn = 0,

n 为奇数 n 为偶数

不存在 , 因此级数发散.

综合 1),2)可知, q <1 时, 等比级数收敛 ;

q ≥1时, 等比级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

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例2. 判别下列级数的敛散性:

解: (1)

2 4 n +1 3 Sn = ln + ln + ln ++ ln 1 3 n 2

= (ln 2 ln1) + (ln3 ln 2) ++ (ln(n +1) ln n)

= ln(n +1) →∞ ( n →∞)所以级数 (1) 发散 ;

技巧: 技巧 利用 "拆项相消 求 拆项相消" 拆项相消 和机动 目录 上页 下页 返回 结束

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1 1 1 1 (2) Sn = + + ++ 1 2 2 3 3 4 n (n +1)

1 1 + 1 1 + 1 1 ++ 1 1 = 2 2 3 3 4 n n +1

1 →1 ( n →∞) =1 n +1 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧: 技巧 利用 "拆项相消 求 拆项相消" 拆项相消 和

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例3. 判别级数 解:

的敛散性 .

= ln(n +1) + ln(n 1) 2ln n

= ln(1+ 1) ln 2 n故原级数收敛 , 其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束

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二,无穷级数的基本性质性质1. 若级数 性质 乘以常数 c

所得级数n

收敛于 S , 即 S = ∑un , 则各项n=1

∞

也收敛 , 其和为 c S .n

证: 令 Sn = ∑uk , 则σn = ∑cuk = c Sn ,k =1k =1

∴ lim σ n∞

n→∞

= cS

这说明 ∑cun 收敛 , 其和为 c S .n=1

说明: 说明 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

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性质2. 性质 设有两个收敛级数

S = ∑un ,则级数∞ n=1

∞

σ = ∑vnn=1

∞

n=1

∑(un ± vn )也收敛, 其和为 S ±σ .n n k =1 k=1

证: 令 Sn = ∑uk , σn = ∑vk , 则

τ n = ∑( uk ± vk )k =1

n

→S ±σ ( n →∞)

这说明级数

n=1

∑(un ± vn ) 也收敛, 其和为 S ±σ .机动 目录 上页 下页 返回 结束

∞

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说明: 说明 (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ∑( un ± vn ) 必发散 . (用反证法可证) 但若二级数都发散 ,n=1 ∞

不一定发散.

例如, 取un = (1)2n , vn = (1)2n+1, 例如

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性质3. 性质 在级数前面加上或去掉有限项 不会影响级数 有限项, 有限项 的敛散性. 证: 将级数 的部分和为n=1

∑un 的前 k 项去掉,n

∞

所得新级数

σn = ∑uk+l = Sk+n Skl =1

极限状况相同, 故新旧两级 数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为 σ = S Sk . 类似可证前面加上有限项的情况 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

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性质4. 性质 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. ∞ 证: 设收敛级数 S = ∑un , 若按某一规律加括弧, 例如n=1

为原级数部分和 则新级数的部分和序列 序列 Sn ( n =1, 2 ,)的一个子序列, 因此必有

=S

用反证法可证

推论: 推论 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 例如,11) + (11) += 0 , 但 发散. (机动 目录 上页 下页 返回 结束