一、等差等比数列基础知识点

（一）知识归纳： 1．概念与公式：

①等差数列：1°.定义：若数列{an}满足an 1 an d(常数),则{an}称等差数列；

2°.通项公式：an a1 (n 1)d ak (n k)d; 3°.前n项和公式：公式：Sn

n(a1 an)

2

n(n 1)

2

na1

d.

②等比数列：1°.定义若数列{an}满足

an 1an

q（常数），则{an}称等比数列；2°.通项公式：

an a1q

n 1

akq

n k

;3°.前n项和公式：Sn

a1 anq1 q

a1(1 q)1 q

n

(q 1),当q=1时Sn na1.

2．简单性质：

①首尾项性质：设数列{an}:a1,a2,a3, ,an,

1°.若{an}是等差数列，则a1 an a2 an 1 a3 an 2 ; 2°.若{an}是等比数列，则a1 an a2 an 1 a3 an 2 . ②中项及性质：

1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且A

a b2

;

2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且G ab. ③设p、q、r、s为正整数，且p q r s, 1°. 若{an}是等差数列，则ap aq ar as; 2°. 若{an}是等比数列，则ap aq ar as; ④顺次n项和性质：

n

2n

3n

1°.若{an}是公差为d的等差数列，则 ak,

k 1

n

k n 1

ak,

a

k 2n 1

3n

k

组成公差为nd的等差数列；

2

2n

2°. 若{an}是公差为q的等比数列，则 ak,

k 1

k n 1

ak,

a

k 2n 1

k

组成公差为q的等比数列.（注意：当q=－1，n

n

为偶数时这个结论不成立）

⑤若{an}是等比数列，

则顺次n项的乘积：a1a2 an,an 1an 2 a2n,a2n 1a2n 2 a3n组成公比这qn的等比数列. ⑥若{an}是公差为d的等差数列,

1°.若n为奇数，则Sn na中且S奇 S偶 a中(注:a中指中项,即a中 an 1,而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶

2

2

数项的和）；

2°.若n为偶数，则S偶 S奇

nd2.

（二）学习要点：

1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一

2

次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an+bn;③公比q≠1的等比

n

数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-q)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.

3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或

2

a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq(或

aq

，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为

“a,a m,a 2m,a 3m(或a 3m,a m,a m,a 3m);”④四数成等比数列，可设四数为

2

3

“a,aq,aq,aq(或

aq

3

,

aq

,aq, aq),”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.

3

[例1]解答下述问题：

111

,,成等差数列，求证： abc

b cc aa b

,,（1）成等差数列； abcbbb

（2）a , ,c 成等比数列.

222

（Ⅰ）已知

[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，

1a 1ca 2b

2

a cacc

2b

2ac b(a c),

2

2

(1)

b ca bbc c a ab

ac.

b(a c) a c

ac

22

2(a c)

b(a c)

2(a c)

b

b cc aa b,,成等差数列;abc

b2)(c b2

b2) ac b2

b2

(a c)

b

2

(2)(a a

b2

4

(

b2

),

2

, ,c 成等比数列.

（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2 1,2Sn n(an 1), （1）求证：{an}是等差数列； （2）若数列{bn}满足:

b1 3b2 5b3 (2n 1)bn 2

n 1

an 6

求证：{bn}是等比数列. [解析]（1）

2Sn n(an 1) 2Sn 1 (n 1)(an 1 1)

① ②

②－①得2an (n 1)an 1 nan 1 (n 1)an 1 nan 1,

令n 1得a1 1, a2 1, 令n 2得a3 3,猜想an 2n 3,用数学归纳法证明

:

1）当n 1时,a1 1 2 1 3,a2 1 2 2 3,结论正确; 2）假设n k(k 2)时结论正确,即ak 2k 3,

当n k 1时, (k 1)ak 1 kak 1 k(2k 3) 1 2k

2

3k 1 (2k 1)(k 1)

k 2, ak 1 2k 1 2(k 1) 3,结论正确.

由1）、2）知，当n N时,an 2n 3,

an 1 an (2n 1) (2n 3) 2,即{an}是公差为2的等差数列;(2)设Tn 2

n 1

an 6 2

n 1

(2n 3) 6,

n 1

当n 2时(2n 1)bn Tn Tn 1 2 (2n 1) 2, bn 2(n 2),而b1 4 ( 1) 6 2,也适合, 当n N时bn 2, bn 1bn

n

n

n

(2n 3) 2(2n 5)

n

2,即{bn}是公比为2的等比数列.

[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明.

[例2]解答下述问题：

（Ⅰ）等差数列的前n项和为Sn,若SP 求SP Q(用P,Q表示).

QP

,SQ

PQ

(P Q),

[解析]选择公式"Sn an bn"做比较好，但也可以考虑用性质完成.

Q2

aP bP P

bn,

P

aQ2 bQ Q

2

[解法一]设Sn an

2

①

②

①－②得：

Q

2

P

2

PQ

(P Q)[a(P Q) b], P Q,

P Q, a(P Q) b

P QPQ

,(P Q)PQ

2

.

SP Q (P Q)[a(P Q) b]

[解法二]不妨设P Q,

(P Q)(aQ 1 aP)

2(P Q)PQ

2

QP

PQ

SP SQ aQ 1 aQ 2 aP (P Q)(a1 aP Q)

2

P QP Q

P QP Q

SP Q,

SP Q

.

（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为 128

2，求项数n.

a1a3a5 ana2a4 an 1

1024128

2

42

[解析]设公比为q,

n 1

a1 q

2

42(1)

35

35

而a1a2a3 an 1024 128

n 1

35

2 2

25

a1 q

35

n

1 2 3

(n 1) 2

2

(a1 q 5n2 2

2

)

n

2

2

,将(1)代入得(22) 2

2

,

35

,得n 7.

（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：

ak1,ak2, ,akn恰为等比数列

,其中k1 1,k2 5,k3 17,

求数列{kn}的前n项和.

[解析] a1,a5,a17成等比数列, a5 a1 a17,

2

(a1 4d) a1 (a1 16d) d(a1 2d) 0 d 0, a1 2d, 数列{akn}的公比q akn a1 3

n 1

2

a5a1

n 1

a1 4da1

3,

2d 3

①②

而akn a1 (kn 1)d 2d (kn 1)d由①，② 得kn 2 3

n 1

1,

n

{kn}的前n项和Sn 2

3 13 1

n 3 n 1.

n

[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题：

（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.

[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a－d, a, a+d，则有

22

(a d)(a d 32) a d 32d 32a 0

22

(a 4) (a d)(a d) 8a 16 d

3d

2

32d 64 0, d 8或d

226338

,,.999

83

,得a 10或

269

,

原三数为2,10,50或

（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为a 15,a 5,a 5,a 15(a 15),

(a 15) (a 5) (a 5) (a 15) (2m)(m N) 4a 500 4m

2

2

2

2

2

2

2

(m a)(m a) 125,

125 1 125 5 25, m a与m a均为正整数

,且m a m a,

m a 1 m a 2

m a 125 m a 25

解得a 62或a 12(不合), 所求四数为47，57，67，77

[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是

主要方法.

二、等差等比数列复习题

一、选择题

1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则（ ）

（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在 2.、在等差数列（ ）

此数列

an 中，

a1 4,且a1,a5,a13成等比数列，则

an 的通项公式为

（A）an 3n 1 （B）an n 3 （C）an 3n 1或an 4 （D）an n 3或an 4 3、已知a,b,c成等比数列，且x,y分别为a与b、则b与c的等差中项，

12

ax

cy

的值为 （ ）

（A） （B） 2 （C）2 （D） 不确定

2

2

4、互不相等的三个正数a,b,c成等差数列，x是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，那么x，b，y三个数（ ）

（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列

（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列（ ）

（A）an 2n 2 （B）an 8n 2 （C）an 2

6（ ）

（A）x,y,z成等差数列 （B）x,y,z成等比数列 （C）

111111

,,成等差数列 （D）,,成等比数列 xyzxyz

n 1

2

an 的前

n项和为Sn,S2n 1 4n 2n,则此数列的通项公式为

2

（D）an n n

，

2

、已知(z x) 4(x y)(y z)

2

则

7、数列 an 的前n项和Sn a 1，则关于数列 an 的下列说法中，正确的个数有 （ ）

n

①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也

可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1 8

、

数

列

1

1212

n 1

,3

1412

,5

18

,7

116

, ,前n项和为

（ ）

（A）n

2

12

n

1 （B）n

2

（C）n n

2

12An

n

1 （D）n n 4n 25n 5

a5 a13b5 b13

2

12

n 1

12

9、若两个等差数列 an 、 bn 的前n项和分别为An 、Bn，且满足

79

87

1920

Bn

，则的值为 （ ）

（A） （B） （C） （D）

2

78

,则数列

10、已知数列（ ）

an 的前

n项和为Sn n 5n 2

an

的前10项和为

（A）56 （B）58 （C）62 （D）60

11、已知数列 an 的通项公式an n 5为, 从 an 中依次取出第3，9，27， 3, 项，按原来的顺序排成一个新

n

的数（ ） （A）

12、( )

n(3 13)

2

n

列，则此数列的前n项和为

（B）3 5 （C）列

命

题

n

3 10n 3

2

n

（D）

真

3

n 1

10n 32

的

下中是命题是

A．数列 an 是等差数列的充要条件是an pn q(p 0) B．已知一个数列 an 的前n项和为Sn anC．数列 an 是等比数列的充要条件an abD．如果一个数列 an 的前n项和Sn ab二、填空题

13、各项都是正数的等比数列 an ，公比q 1a5,a7,a8,成等差数列，则公比q= 14、已知等差数列 an ，公差d 0,a1,a5,a17成等比数列，则15、已知数列 an 满足Sn 1

14

a1 a5 a17a2 a6 a18

n

2

bn a,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

n 1

c(a 0,b 0,b 1),则此数列是等比数列的充要条件是a c 0

=

an,则an16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、解答题

17、已知数列 an 是公差d不为零的等差数列，数列 ab

q及bn。

n

是公比为q的等比数列，b

1

1,b2 10,b3 46 ，求公比

18、已知等差数列 an 的公差与等比数列 bn 的公比相等，且都等于d(d 0,d 1) ,a1 b1 ，a3 3b3,a5 5b5,求an,bn。

19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。

20、已知 an 为等比数列，a3 2,a2 a4

21、数列 an 的前n项和记为Sn,a1 1,an 1 2Sn 1 n 1

203

，求 an 的通项式。

（Ⅰ）求 an 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列 bn 的各项为正，其前n项和为Tn，且T3 15，又a1 b1,a2 b2,a3 b3成等比数列，求Tn

22、已知数列 an 满足a1 1,an 1 2an 1(n N*).

（I）求数列 an 的通项公式； （II）若数列 bn 满足4

b1 1

.4

b2 1

...4

bn 1

(an 1)n(n N)，证明： bn 是等差数列；

b

答案:

第九单元 数列综合题

一、选择题

二、 填空题 13.

1 25

14.

2629

15.

43

(

13

) 16. 63

n

三、解答题

17.ab=a1,ab=a10=a1+9d,ab=a46=a1+45d

1

2

3

由{abn}为等比数例，得（a1+9d）=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4=3d·4,a1+(bn-1)d=3d·4∴bn=3·4-2

2 2

18.∴ a3=3b3 , a1+2d=3a1d, a1(1-3d)=-2d ①

4

a5=5b5, a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d)=-4d ②

555n-1 ②1 5d221n-1

,得=2，∴ d=1或d=,由题意，d=,a。∴a(n-6) b·()551=-n=a1+(n-1)d=n=a1d=-2①55551 3d

4

2

n-1n-1n-1

n-1

19.设这四个数为

aq

,a,aq,2aq a

① a

a aq 216 3

则 q 由①，得a=216,a=6 ③ a aq (3aq a) 36②

③代入②，得3aq=36,q=2 ∴这四个数为3，6，12，18

a32

20.解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= , a4=a3q=2q

qq

2201

所以q解得q1q2= 3,

q33

当q13, a1n－1183－n

11=18.所以 an=18×(3=3n－1= 2×3.

当q=3时, a22n－3

1= 9 , 所以an9

×3n－1=2×3.

21.解：(I)由an 1 2Sn 1可得an 2Sn 1 1 n 2 ，两式相减得

an 1 an 2an,an 1 3an n 2

又a2 2S1 1 3 ∴a2 3a1 故 an 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴a 1n 3n

（Ⅱ）设 bn 的公差为d

由T3 15得，可得b1 b2 b3 15，可得b2 5 故可设b1 5 d,b3 5 d 又a1 1,a2 3,a3 9

由题意可得 5 d 1 5 d 9 5 3 2

解得d1 2,d2 10

∵等差数列 bn 的各项为正，∴d 0 ∴d 2

∴Tn n 1 2

n 3n

2

2 n 2n

22（I）： an 1 2an

(1n ,)N*

an 1 1 2(an 1),

an 1 是以a1 1 2为首项，2为公比的等比数列。

an 1 2n

.

即 a2 1(n N*

n 2).

（II）证法一： 4

b1 1

4

b2 1

...4

bn 1

(an 1)b

n.

4

(b1 b2 ... bn) n

2

nbn

.

2[(b1 b2 ... bn) n] nbn, ①

2[(b1 b2 ... bn bn 1) (n 1)] (n 1)bn 1. ② ②－①，得2(bn 1 1) (n 1)bn 1 nbn, 即(n 1)bn 1 nbn 2 0,

③

④

nbn 2 (n 1)bn 1 2 0.

④－③，得 nbn 2 2nbn 1 nbn 0, 即 bn 2 2bn 1 bn 0,

bn 2 bn 1 bn 1 b*

n(n N),

bn 是等差数列。