高中数学 数列基础知识点和综合练习(含答案) 新人教A版必修5

一、等差等比数列基础知识点

（一）知识归纳： 1．概念与公式：

①等差数列：1°.定义：若数列{an}满足an 1 an d(常数),则{an}称等差数列；

2°.通项公式：an a1 (n 1)d ak (n k)d; 3°.前n项和公式：公式：Sn

n(a1 an)

2

n(n 1)

2

na1

d.

②等比数列：1°.定义若数列{an}满足

an 1an

q（常数），则{an}称等比数列；2°.通项公式：

an a1q

n 1

akq

n k

;3°.前n项和公式：Sn

a1 anq1 q

a1(1 q)1 q

n

(q 1),当q=1时Sn na1.

2．简单性质：

①首尾项性质：设数列{an}:a1,a2,a3, ,an,

1°.若{an}是等差数列，则a1 an a2 an 1 a3 an 2 ; 2°.若{an}是等比数列，则a1 an a2 an 1 a3 an 2 . ②中项及性质：

1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且A

a b2

;

2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且G ab. ③设p、q、r、s为正整数，且p q r s, 1°. 若{an}是等差数列，则ap aq ar as; 2°. 若{an}是等比数列，则ap aq ar as; ④顺次n项和性质：

n

2n

3n

1°.若{an}是公差为d的等差数列，则 ak,

k 1

n

k n 1

ak,

a

k 2n 1

3n

k

组成公差为nd的等差数列；

2

2n

2°. 若{an}是公差为q的等比数列，则 ak,

k 1

k n 1

ak,

a

k 2n 1

k

组成公差为q的等比数列.（注意：当q=－1，n

n

为偶数时这个结论不成立）

⑤若{an}是等比数列，

则顺次n项的乘积：a1a2 an,an 1an 2 a2n,a2n 1a2n 2 a3n组成公比这qn的等比数列. ⑥若{an}是公差为d的等差数列,

1°.若n为奇数，则Sn na中且S奇 S偶 a中(注:a中指中项,即a中 an 1,而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶

2

2

数项的和）；

2°.若n为偶数，则S偶 S奇

nd2.

（二）学习要点：

1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一

2

次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an+bn;③公比q≠1的等比

n

数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-q)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.

3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或

2

a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq(或

aq

，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为

“a,a m,a 2m,a 3m(或a 3m,a m,a m,a 3m);”④四数成等比数列，可设四数为

2

3

“a,aq,aq,aq(或

aq

3

,

aq

,aq, aq),”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.

3

[例1]解答下述问题：

111

,,成等差数列，求证： abc

b cc aa b

,,（1）成等差数列； abcbbb

（2）a , ,c 成等比数列.

222

（Ⅰ）已知

[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，

1a 1ca 2b

2

a cacc

2b

2ac b(a c),

2

2

(1)

b ca bbc c a ab

ac.

b(a c) a c

ac

22

2(a c)

b(a c)

2(a c)

b

b cc aa b,,成等差数列;abc

b2)(c b2

b2) ac b2

b2

(a c)

b

2

(2)(a a

b2

4

(

b2

),

2

, ,c 成等比数列.

（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2 1,2Sn n(an 1), （1）求证：{an}是等差数列； （2）若数列{bn}满足:

b1 3b2 5b3 (2n 1)bn 2

n 1

an 6

求证：{bn}是等比数列. [解析]（1）

2Sn n(an 1) 2Sn 1 (n 1)(an 1 1)

① ②

②－①得2an (n 1)an 1 nan 1 (n 1)an 1 nan 1,

令n 1得a1 1, a2 1, 令n 2得a3 3,猜想an 2n 3,用数学归纳法证明

:

1）当n 1时,a1 1 2 1 3,a2 1 2 2 3,结论正确; 2）假设n k(k 2)时结论正确,即ak 2k 3,

当n k 1时, (k 1)ak 1 kak 1 k(2k 3) 1 2k

2

3k 1 (2k 1)(k 1)

k 2, ak 1 2k 1 2(k 1) 3,结论正确.

由1）、2）知，当n N时,an 2n 3,

an 1 an (2n 1) (2n 3) 2,即{an}是公差为2的等差数列;(2)设Tn 2

n 1

an 6 2

n 1

(2n 3) 6,

n 1

当n 2时(2n 1)bn Tn Tn 1 2 (2n 1) 2, bn 2(n 2),而b1 4 ( 1) 6 2,也适合, 当n N时bn 2, bn 1bn

n

n

n

(2n 3) 2(2n 5)

n

2,即{bn}是公比为2的等比数列.

[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明.

[例2]解答下述问题：

（Ⅰ）等差数列的前n项和为Sn,若SP 求SP Q(用P,Q表示).

QP

,SQ

PQ

(P Q),

[解析]选择公式"Sn an bn"做比较好，但也可以考虑用性质完成.

Q2

aP bP P

bn,

P

aQ2 bQ Q

2

[解法一]设Sn an

2

①

②

①－②得：

Q

2

P

2

PQ

(P Q)[a(P Q) b], P Q,

P Q, a(P Q) b

P QPQ

,(P Q)PQ

2

.

SP Q (P Q)[a(P Q) b]

[解法二]不妨设P Q,

(P Q)(aQ 1 aP)

2(P Q)PQ

2

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