第2单元第7讲 函数的性质(三)——周期性、对称性

理解函数的周期性与对称性的概念，能综合运用函数的性质解题.

1 x 2 4 1.函数f x =2 x -x+1的对称轴方程是 .2.已知函数f x 满足f ( x+4)=f x ,当2 x 3时， f x =x,则f 106.5 = .

解析： 由周期函数的定义知 f 106.5 =f (26 4+2.5)=f 2.5 = 2.5.

x x+a 3.函数f x = 的图象关于点 1,0 对称， x-1 则a= .解析： 因为f x 图象关于点 1,0 对称， 2 2+a 则f 0 =-f 2 ,所以0=,所以a =- 2. 2-1 x x-2 而a =- 2时，f x = , x -1 x -2 - x f (2-x)= =-f x , 1-x 所以a =- 2时，f x 的图象关于点 1,0 对称.

3 4.设f x 满足f ( x+ )=-f x ,且f x 是奇函数. 2 若f 1 1,f 2 =a,则下列结论正确的是 A.a 2 C .a 1 B.a -2 D.a -1

解析： 由已知得f ( x+3)=f x , 所以f x 的周期是3,且是奇函数， 所以a=f 2 =f (3-1)=f ( )=-f 1 -1,选D.

5.若函数f x 在(4,+ )上是减函数，且对 任意x R,有f (4+x)=f (4-x),则 A.f 2 f 3 C.f 3 f 5 B.f 2 f 5 D.f 3 f 6

解析： 由已知，f x 的对称轴方程是x= 4, 所以f 3 =f 5 f 6 .

1.函数的对称性如果函数f x 满足f (a+x)=f (a -x) 或f x =f (2a -x),则函数f x 的图象关于直线 ① ______ 对称.一般的，若f (a+x)=f (b-x), 则函数f x 的对称轴方程是② ______.

2.函数的周期性 函数的周期性的定义：设函数y=f x ,x D, 若存在非零常数T,使得对任意的x D都有 ③ ________ ,则函数f x 为周期函数，T 为 y=f x 的一个周期.若函数f x 对定义域中 任意x满足f ( x+a )=-f x 或f ( x+a )=-(a 0), 则函数f x 是周期函数，它的一个周期是④ _____ .

【要点指导】 a+b ①x=a;②x= ; 2 ③f ( x+T )=f x ;④ 2a

题型一 函数周期性及其应用

例1. f x 是定义在R上的函数， 若f (a+x)=f (a-x), f (b+x)=f (b-x)( x R,b a 0), 求证：f x 是周期函数.

证明： 因为f [ x+2(b-a )] =f [b+( x+b-2a )]=f [b-( x+b-2a )] =f (2a-x)=f [a+(a-x)] =f [a-(a-x)]=f x , 且2(b-a) 0,所以f x 是周期函数.

评析：函数的性质是互相联系的，尤其是对 称性与单调性.本题已知函数的两条平行于y轴 的对称轴，函数必是周期函数，一个周期是2(b- a),注意推导过程.

素材1:设函数f x 是定义在R上的偶函数，且满足：

①f x f (2 x);②当0 x 1时，f x x 2 .

1 判断函数f x 是否是周期函数； 2 求f 5.5 的值. f x =f 2 x 解析：1 由 f ( x)=f (2 x) f x =f x f x =f ( x+2) f x 是周期为2的周期函数.

2 f 5.5 =f (4+1.5)=f 1.5 =f 0.5 =0.25.

题型二

函数对称性及其的应用

例2.是否存在实数a,使函数f x =log 2 x+ x +2 -a2

的图象关于原点对称，同时使函数 1 g x =( x-1) x-1 +a 的图象关于直线x=1对称？ a -1 证明你的结论.

分析：可从f x 与g x 中任一个函数出发，求 出a再代入另一个检验，而f x 的定义域为R, 且其图象关于原点对称，可转化为奇函数，故 从f x 出发更简单.