1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

第一章课件

第一章

第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、小结与思考题2013年10月8日星期二 1目录 上页 下页 返回

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一、连续函数的四则运算的连续性定理 1 如果函数 f ( x) 和 g ( x) 均在点 x0 连续，则它们 f ( x) 的和(差) f ( x) g ( x) 、积 f ( x) g ( x) 、以及商 g ( x) ( g ( x0 ) 0 )都在点 x0 连续.例如，函数 y sin x 、 y cos x 都在区间 ( , ) 内连 续，则 y sin x cos x 、 y sin x cos x 在区间 ( , )

sin x 内连续， y tan x 在 x k 处连续. cos x 22013年10月8日星期二 2目录 上页 下页 返回

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二、反函数与复合函数的连续性定理 2 如果函数 y = f ( x) 在区间 I x 上单调增加 (或单调减少)且连续，那么它的反函数 x ( y) 也在 对应的区间 I y y | y f ( x), x I x 上单调增加(或单 调减少)且连续.例如， 因为函数 y cos x 在区间 [0 , π] 上单调减少 且连续， 所以它的反函数 y arccos x 在闭区间 [ 1,1] 上 也是单调减少且连续的.同理可知其它的反三角函数在各自的定义域内都 是单调且连续的.2013年10月8日星期二 3目录 上页 下页 返回

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定理 3

设函数 y f g ( x) (其中 x D )由函数 y f (u )o

与 函 数 u g ( x) 复 合 而 成 ， 去 心 邻 域 U ( x0 ) D . 若 lim g ( x) u0 ,而函数 y f (u ) 在 u u0 连续，那么当 x 趋 于 x0 时，函数 y f g ( x) 的极限存在且等于 f (u0 ) ,即x x0

定理 4 设函数 y f g ( x) (其中 x D )是由函数 y f (u ) 与函数 u g ( x) 复合而成， U ( x0 ) D .若函数 u g ( x) 在 x x0 连续，且 g ( x0 ) u0 ,而函数 y f (u ) 在点 u u0 连续， 那么复合函数 y f g ( x) 在 x x0 也连续.即x x0 x x0

x x0

lim f g ( x) lim f (u) f (u0 ) f ( lim g ( x)) .u u0 x x0

lim f g ( x) f (u0 ) f ( lim g ( x))4目录 上页 下页 返回

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sin 2 x 例 1 求 lim 2 . x 0 xsin x 提示： (1) lim =1 x 0 xsin 2x (2)函数 y 2 可看成是由 y x

2 u 和

sin 2x 复合而成的。 u x

注意： 熟练后本题可以写为lim 2 x 0

sin 2 x sin 2 x lim 2 lim x 0 x 0 x x5

2 2 0

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例2 求1 解: 原式 lim log a (1 x) lim log a (1 x) x 0 x 0 x 1 x log a lim(1 x) x 0 例3 求1 x

解: 令 t a 1, 则 x log a (1 t ) , t 原式 lim t 0 log a (1 t )x

说明: 当

时, 有

ln(

1 x) ~ x2013年10月8日星期二

e 1 ~ xx

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例4 求 lim(1 2 x)x 0

3 sin x

有某个同学的解法如下：解： 原式= lim(1 2 x)

x 0

3 sin x3 sin x

1

f 问题出在： ( x) (1 2 x)3 sin x

无法直接写成复合函数。

为此必须想办法把它改写成复合函数！

(1 2 x)

e

3 ln(1 2 x ) sin x

e

3 ln(1 2 x ) sin x

这就是一个复合函数了！2013年10月8日星期二 7目录 上页 下页 返回

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例5 求 lim(3 2 x)x 0

x2 2

(补充题)x2 2

解： 原式

limex 0

ln(3 2 x )

e x 0

lim ln(3 2 x )

x2 2

e x 0 2 ln 3 e 9

lim ( x2 2)ln(3 2 x )

ex 0

lim ( x2 2) lim ln(3 2 x )x 0

一般地，对于形如 u( x)v ( x ) ( u( x) 0 , u( x) 不恒等于1)的函数(通常称为幂指函数),如果 lim u( x) a 0 , lim v( x) b , 那么 lim u( x)v ( x ) ab .这里的3个 lim 都表示在同一自变量

变化过程中的极限.2013年10月8日星期二 8目录 上页 下页 返回

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三、初等函数的连续性可以证明，

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.

进而可以证明，

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.思考题：判断下列说法是否正确？ 一切初等函数在其定义域内都是连续的.2013年10月8日星期二 9目录 上页 下页 返回

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答：初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义 域内不一定连续。 例如， cos x 1, D : x 0, 2 , 4 , y 这些孤立点的邻域内没有定义. 又如， y

x 2 ( x 1) 3 , D : x 0, 及x 1,

在0点的邻域内没有定义，但函数在区间 [1, ) 上连续.

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学习课本例4上面的一段话。在上一节，我们是利用极限来证明函数的连续性，而现 在可利用函数的连续性来求连续函数的极限.根据函数 f ( x) 在点 x0 连续的定义， 如果已知 f ( x) 在点 x0 连续， 那么求 f ( x) 当 x x0 的极限时，只要求 f ( x) 在点 x0 的函数值 f ( x0 ) 就可 以了.即 lim f ( x) f ( x0 ) .因此，关于初等函数连续性的结x x0

论提供了求极限的一种方法. 这就是： 如果 f ( x) 是初等函数， 且 x0 是 f ( x) 的定义区间内的点，那么 lim f ( x) f ( x0 ) .x x0

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x2 ln(2 x) 例6 求极限 lim x 1 4arctan xx2 ln(2 x) 为初等函数， …… 此处隐藏：1740字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……