重积分先一后二求围定顶的计算方法

时间：2025-07-14

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三重积分先一后二求围定顶的计算方法

王浚岭!

摘要!（三峡大学理学院数学系!湖北宜昌!!!"##$）!!!介绍三重积分“先一后二、求围定顶”的计算方法，这种方法不需要画出积分区域的立体图形，容易

三重积分；简单区域!中图分类号!%&’$确定累次积分式中的积分限关键词!

为了讨论一般区域上的三重积分的计算，先研究一类简单区域上的积分"简单区域的定义为：#$｛（%，&，’’（&），（%，&）((%&(&（，)$%$*｝!（&）$’$’（$&$&（&）$%，&%）$%）&%，其中(%&是#在%&平面上的投影区域，（&）式中(%&是%型区域，也可以是&型区域"设（+%，&，’）在#上连续，’（&），’$，（%，&）在(%&上连续，且&（，&（在［)，*］上连续，则有&%，&%）$%）

+%，&，’）)%)&)’$&)%)&",（

#(%&’（&）$%，’（&）&%，（+%，&，’）)’

’（%，&）$（$）（"）$"")*)%&（%）$&（&%）)&"’（%，&）&（+%，&，’）)’

“先一后二”积分公式，（"）式称为三重积分化为三次定积分的累次积分公（$）式称为三重积分的

式，其积分限的安置可以概括为：“点—点，线—线，面—面”"把区域#投影到&’，’%平面上时，可以写出相应的“先一后二”和累次积公分式"对于一般区域上的三重积分，可以分解成有限个简单区域上的积分和"关于上面介绍的简单区域及积分公式可参考文献［&，$］"

当积分区域的几何形状简单明了时，容易写出它的集合表达式（&），于是由（"）式计算积分"但是积分区域的立体图形（即使都是由平面围成的立体，参看例!）通常都难以画出，确定集合表达式（&）式是十分困难的"为了解决这种困难，文献［"］介绍了不画出区域的立体图形，而只画投影区域的平面图形的截线法，但是如何画出投影区域的平面图形，如何确定公式（"）中的积分限，文献［"］并没有给出切实可行的方法，因此本文对此做进一步深入讨论"

简单区域#是由上、下两个曲面及母线平行’轴的柱面所围成，（&）式中’（&），’（&）分别$%，&%，

称为区域#的上顶和下顶（即底），以(%&的边界曲线为准线，母线平行于’轴的柱面，位于上顶和下顶之间的部分称为区域#的“围墙”，(%&的边界曲线称为“围线”，它是投影柱面（即“围墙”）与%&平面的交线"以下设区域#由’$,（%，&），’$-（%，&）和!（&）$#（.$&，$，…/）围成（这种区.%，

域通常是简单区域，或者可以分解为几个简单区域），则两个含’的曲面构成区域#的“顶”，其余不含’的曲面是母线平行于’轴的柱面，构成区域#的“围墙”或“围墙”的一部分"一般先“求围”，再

（%#，&#），比较,（%#，&#）和-（%#，&#）的大小，用试探法“定顶”，即在“围线”内（(%&内部）任取一点

“求围”得到二重积分的积分区域，“定顶”得到对’的积分上限和下限，大者为上顶，小者为下顶"

因此本文介绍的方法称为“求围定顶”法，有下面三种情况"

一、设区域#由’$,（%，&），’$-（%，&）围成，不出现!（&）$#"此时两曲面的交线在%&平.%，

$##@A#.A&.!收稿日期：

三峡大学教育教学研究重点项目（#"##.），三峡大学《数学分析》优质课程建设项目（$##"#&@）!!基金项目：

面上的投影即“围线”!

例!"高等数学研究"""""""""""""""$&&*年’月化三重积分（#$，%，&）#$#%#&为三次积分，其中"是曲面&’$$($%$，&’$)$$所围

成的闭区域!

解*“求围”：

方程组{&’$)$&’$$($%$$消去&得两曲面的交线在$%平面上的投影，即“围线”：$$(%$’!，因此