应用弹塑性力学(徐秉业_刘信声版)课后习题答案(全)

弹塑性力学习题解答

中国地质大学工程技术学院

力学教研室

2-3 解：

εx=(A2

0+A1x)z

ε2z=(B0+B1x)z+B2z3

γ2xz=x(C0+C1z)εy=γxy=γyz=0

2

εx

2

ε 2

z

z2

=0 x2

=2Bzγxz

1 x z

=2C1z 2ε2x 2ε z2

+z x2=

γxz

x z2B1z=2C1z

B1=C1

3-2 解：

σs=205MPa σ1=200MPa σ2=100MPa σ3= 50MPaTresca:σ1 σ3=250MPa>σs=205MPa

处于塑性状态。

Mises:(σ21 σ2)2+(σ2 σ3)2+(σ3 σ1)=95000MPa

95000MPa>2σ2s=84050MPa

处于塑性状态。

σs=205MPa σ3= 200MPa σ2= 100MPa σ1=50MPaTresca:σ1 σ3=250MPa>σs=205MPa

处于塑性状态。

Mises:(σ21 σ2)2+(σ2 σ3)+(σ3 σ21)=95000MPa

95000MPa>2σ2s=84050MPa

处于塑性状态。

2-1 解：

2u=z2+µ(x y2)2a; v=µxya; w=

xz

a

ε uµxx=

x=aγu v

xy= y+

x=0ε vµxy= y

=

a

γyz

= v z+w y=0ε w wz=

z= xa

γzx=

x+ u z

=0εx,εy,εz,γxy 均为 x、y、z 的一次函数，满足变形协调方程。

3-1 解：

σs=250MPa d=400mm t=4mm

σθ=

pd

2t

=50pσz=

pd

4t

=25pσr= p

Tresca:σθ σr=σs 51p=250 p=4.9MPa

Mises:(σ22θ σ2z)+(σz σr)+(σθ σr)=2σ2s p=5.66MPa

σr=0

Tresca:σθ σr=σs 50p=250 p=5MPa

δ=2%

Mises:(σθ σz)2+(σ22z σr)+(σθ σr)2=2σs p=5.77MPa

δ=1.9%

3-4 解：

σprθ=2tσpr =

2t

σr= p≈0

σpr0=3tsprθ=

6t

σpr =

6t

σr=

pr3t

dεppθ:dεp :dεr=sθ:s :srdεpθ:dεp :dεpr=1:1: 2

σ1

2i=

(σprθ σ )2+(σ σr)+(σ22

[θ σr)]

=

2t

dεp:dεp:dεpθ r

=1:1: 2dεp:dεpdr

θ

=

r

dεpdtr

=

t

drr

=

1dt2t∫

r

dr

=1tdtr

r 0r2∫tln

1t0t

r= ln02t0

r=t

0r220t

rt=r0t0

3-7 解：

σθ=

pr

t

σprz=

2t

+σσr= p≈0

Tresca:σ>

pr2t

σz σr=σs σ+

pr

2t

=σsTresca:σ<

pr

2t

σ

pr

θ σr=σst

=σsMises:(σθ σz)2+(σz σr)2+(σθ σr)2=2σ2s2

3 pr

+σ2=σ2

4 t

s

Tresca屈服条件：

τ yz=τ zx= 0σ1=σ x+σ y σ σ y+ x 2 2 σ x+σ y σ x σ y 2 2

σz=σ2= 2 +τ xy 2 +τ xy 2 2

1 (σ x+σ y ) 2

200mm补充题：薄壁圆筒，内半径为 r0=200mm,壁厚为 t0=4mm,承受内压为 p=10MPa,材料单向拉伸时：σ= 800ε 0.25 dt求：壁厚变化量 。 t= t0 t dε=r

解：σ= pr0θt0

σz=

pr0 2t 0

σr≈ 0sz= 0 pr0 2t 0

prσ0= 0=σθ 2t0σi=3 pr0 2t 03ε i 24

t

σ3=

pr sθ= 0 2t0

sr=

pr0 2t03ε i 2σ i

σ1 σ3=σs σ x σ y 2 2

σ σ y 2 x 2

2 +τ xy=σ s

2

ε ij=

3ε i s ij 2σ i

εr=

εr=

单一曲线假设：

1 2 +τ xy=σ s2 4

0 .25σ i= 800ε i

0 .25

σ εi= i 800

ε r= ln

t t0

t= t0eε r

t= t0e

3 σi 2 800

4

t= 3 .714 mm t= 0.286 mm

厚壁圆筒受外压作用分析b p

二、弹塑性分析ρ弹性区：ρ≤ r≤ bρ:弹塑性分界面的半径。

一、弹性分析σr= b p b2 a22

a2

q:弹塑性分界面处的压力。σr=ρ 2q b2 ρ 2 b2

b2 p 1 r 2 b2 ρ 2 ρ2 1 r 2

a 1 r2

a2 1+ 2 r b2 p a2 1+ 2 σ 1=σ r,σ 3=σθ= 2 b a2 r Tresca: (σ 1 σ 3 )=σ s Tresca: r=aσs a2 1 2 弹性极限压力： pe= 2 b

σθ=

b2 p b a22

pσrρ 2qσθ= 2 b ρ2 b2 b2 p 1+ 2 2 r b ρ2 2

ρ2 1+ 2 r

aρ

b

(σ r σθ ) r=ρσθ

=

2b 2 ( p q)=σ s b ρ2σs

α塑性区：α≤ r≤ρdσ rσ r σθ+=0 dr r

σr-σθ=σsdσ rσ= s dr rσ r= σ s ln r+ C

r交界处：r=ρeσr= e

e pσr=σr

e

p

ρ 2q b2 b2 p ρ2 1 2 2 1 2 b2 ρ 2 r b ρ2 r

dσ r= σ s

dr r=0

p

pσ r=σ s ln

p

a r=2

q= σ s ln

aρ

边界条件：σ r

r=a

塑性区的应力分量：

aρ

b

(σ r σθ ) r=ρp=

2b 2 ( p q)=σ s b ρ2

σ r=σ s lnσθ

a r a =σ s ln 1 r

b2 ρ 2ρσ s+σ s ln 2b 2 a

=

15 x34

2a +3xy2+ax2+ay2 27a3

τ153M

zx=

a5

(3xy+ay)m=

C4a

C=4am

m=

153M2a5

τ153Mzy=2a5

( 3x2+3y2+2ax

)

C=

303a4

θ=

C15 w

2G= y= 1 G x vGa y

=152Ga( 3x2+3y2

)

u= θzy= 15M

w=

153M

Gazy( 3x2y+y32Ga)

+f(x)

v=θzx=15M

w1 u153M

Ga4

zx x=G y y=

Ga5

(3xy)w=

153 3x2y+y3

w= 15M2Ga5

(3x2y)

+f(y)

2Ga()

f(x)=0f(y)=

1532Gay3

7－8

（1）

tanα=

h

b/2

=kh=bk2V=

abh2

M=2V=

ab2h2