抽象代数 孟道骥版 习题解答 第二章
时间：2025-04-19
抽象代数 孟道骥版 习题解答 第二章
Chapter2
2.1
1. ?
Ч .√√√2. Z[]={m+n√|m,n∈Z}. Z[] , √ Z[] (Z[] Gauss ).√√,C , √ Z[] , Z[] C√Z[] . F, Q[] F, a,b,c,d∈Z, :√√√√a+b(a+b)(c d)=∈Q[],c+dc+d√√ Q[] F, Q[]=F√√3. :Z[]={m+n|m,n∈Z} , .√√ √C,C , √ Z[] , Z[]
Z[] . F, Q[] F, a,b,c,d∈Z, :√√√√(a+b)(c d)a+b=∈Q[],c+dc+d√√ Q[] F, Q[]=F
4. D ,m,n∈N,(m,n)=1. :a,b∈D am=bm,an=bn a=b.
27
抽象代数 孟道骥版 习题解答 第二章
28
, с :
(m,n)=1, s,t∈Z, ms+nt=1,
a=a1=ams+nt=bms+nt=b1=b.
5. ( ab=ac b=c), Abel . ?
2.1.1 . 2.1.1 , R , R . R . Rь Abel . . .
6. D ,D =D {0}. a,b∈D , a1,b1∈D ab1=ba1, D П , m=ab1=ba1 a,b П . D П . D×D ～:(a,b)～(c,d), d1,b1∈D db1=bd1, ad1=cb1. :
1) ～
(a,b) . F=D×D /～ 2) a
b :ad1+cb1ac+=bdm
( m=bd1=db1 b,d П ),ac2ac·=bddb2
( b2,c2 b2∈D ,c2∈D,cb2=bc2). F .
3)D F D .
4) x∈F, a ,b ∈D x=a (b ) 1.
7. R ,S R , S . R×S 2.1.1 . RS 1( Q(R,S)). :
1)RS 1 ;
2)R RS 1 ;
3) a∈S RS 1,a .
1) 2.1.1 , , . s1,s2∈S,r1,r2∈R,r1s2+r2s1r1r2+=∈RS 1s1s2s1s2r1r2r1r2·=∈RS 1s1s2s1s2 1 RS .
2),3) R .
抽象代数 孟道骥版 习题解答 第二章
29
8. R=Z4,S={1,3}. RS 1.
RS 1={0,1/1,2/1,3/1,1/3,2/3,3/3}, 2/1=2/3,1/1=3/3,3/1=1/3. RS 1 Z4 .
9. R=Z,S={2n|n∈N. RS 1.
RS 1={k|k∈Z,(2,k)=1,n∈N}
10. R=3Z,S={6n|n∈N}. RS 1 R {Z+} .m :RS 1→{n|m∈Z,n∈Z+}, 63x ((3x,6n))=n, x∈Z,n∈N. .6m m∈Z,n∈Z+, ((3·2m,6n+1))=n.6 .m RS 1 {n|m∈Z,n∈Z+}6m|m∈Z,n∈6n
11. R ,R1 R . K 1 K .R, a∈R1,a K , RR1
r∈R,a∈R1, :r/a→ra 1∈K. a 1=0. 1 K . , RR1
2.2
deg(fg)=degf+degg.
( , ?)
nm iaix,g(x)=bjxj,(an,bm=0). degf= f(x)=
i=01. R ,R[x] R ,f,g∈R[x]. :
n,degg=m. f(x)g(x)=n m j=0
aibjxi+j=m+n ( aibjxk). R
i=0j=0k=0i+j=k
,anbm=0, deg(fg)=m+n. deg(fg)=degf+degg.
R , an anbm=0, deg(fg)≤m+n. .
2. R ,F R ,F[x] F . R[x] R , R[x] F[x] .
抽象代数 孟道骥版 习题解答 第二章
30
R[x],F[x] K,E. E=F(x),K E.(x) E K, f,g∈F[x], f∈E. f,g r,r,s∈Rg(x)s
, r0,s0∈R, f(x)=f1(0x),g(x)=g1(0x),f1(x),g1(x)∈
(x)s0f1(x)=,s0f1(x),r0g1(x)∈g[x]. E K. E=K.R[x],f
01√/2 Q , 3. Q . ω= 1/2+Q[ω] Q[x]/ x2+x+1 .
:Q[x]→Q[ω], (f(x))=f(ω), f(x)∈Q[x], , ker = x2+x+1 , Q[ω] Q[x]/ x2+x+1 .
√√4. u=+Q , Q[x] I, Q[u] Q[x]/I.
u4 10u2+1=0, u Q .
:Q[x]→Q[u], (f(x))=f(u), f(x)∈Q[x], , ker = x4 10x2+1 ,(x4 10x2+1 Q ), Q[u] Q[x]/ x4 10x2+1 .
5. I R . I[x1,x2,...,xn] R[x1,x2,...,xn] I . :
1)I[x1,x2,...,xn] R[x1,x2,...,xn] ;
2)R[x1,x2,...,xn]/I[x1,x2,...,xn] (R/I)[y1,y2,...,yn], y1,y2,...,yn R/I .
1) ,I[x1,···,xn] . f∈
··,xn],g∈[x1,···,xn], fg R[x1,· ai1···inbj1···jn.c=
ai1···in∈R,bj1···jn∈I, c∈I,fg∈I[x1,···,xn]. in1ai1···inxi∈R[x1,···,xn], ai1···in∈2) f=1···xn
R, ai1···in R/I i1···in :R[x1,···,xn]→(R/I)[y1,···,yn], (xi)=yi, (r)= r∈R. . f∈Ker , yi R/I ,с i1···in=0, ai1···in∈I, 1≤i1,···,in≤n, f∈I[x1,···,xn]. . Ker =I[x1,···,xn],
R[x1,x2,...,xn]/I[x1,x2,...,xn] (R/I)[y1,y2,...,yn].
6. R .
R x =(a0,a1,...,an,...)=∞
n=0i1···in1≤is,jt≤n anxn|an∈R
抽象代数 孟道骥版 习题解答 第二章
31
R x :
∞ ∞ ∞ anxn+bnxn=(an+bn)xn;
n=0n=0n=0
∞
n=0 ∞ ∞ nnanx·bnxaibjxn.=n=0n=0i+j=n
R x ( R ).
R x Abel , . , .
7. M ,R .
R[M]={f|f:M→R,|M f 1(0)|<∞}.
R[M] :
抽象代数 孟道骥版 习题解答 第二章.doc
将本文的Word文档下载到电脑
