概率论与数理统计练习题

姓名第四章 随机变量的数字特征（一）

一、选择题：

1．设随机变量X，且E(X)存在，则E(X)是 [ B ] （A）X的函数 （B）确定常数 （C）随机变量 （D）x的函数

x

1 9 e

2．设X的概率密度为f(x) 9

0

x 0x 0

，则E(

19

X) [ C ]

（A）

1

9

x

x e9dx （B）

1

x

9

x e9dx （C） 1 （D）1

3．设 是随机变量，E( )存在，若 （A）E( ) （B）二、填空题：

E( )3

2

3

，则E( ) [ D ]

E( )3

2/3

（C）E( ) 2 （D）

1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则E(X)

(x 1)8

2

2．设X

为正态分布的随机变量，概率密度为f(x) ，则E(2X 1)

2

1162

3．设随机变量X的概率分布

，则E(X 3X)

154．设随机变量X的密度函数为f(x)

12e

|x|

( x )，则E(X)

三、计算题：

1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中最大编号，求E(X)

解：E(X) 3

110

4

310

5

35

4.5

2．设随机变量X的密度函数为f(x)

10

2(1 x)

0 x 1其它

，求E(X)

解：E(X)

x 2(1 x)dx

13

3．设随机变量X~N( , 2)，求E(|X

|)

解： |x |

(x )2

2

2

dx令y

2 x 2

|y|e

y

2

2

dy

0

ye

y

2

dy

e x 4．设随机变量X的密度函数为f(x)

0

x 0x 0

，试求下列随机变量的数学期望。

（1）Y1 e

2X

； （2）Y2 max{X,2}； （3）Y3 min{X,2}

解：（1）E(Y1)

0

e

2x

edx

x

13

.

（2）Y2 max{X,2}

2

x

2,0 x 2 x,x 2

，

E(Y2)

2edx

2

xedx 2 e.

x 2

（3）Y3 min{X,2}

20

x

x,0 x 2 2,x 2

,

E(Y3)

xedx

2

2edx 1 e.

x 2

概率论与数理统计练习题

姓名第四章 随机变量的数字特征（二）

一、选择题：

1．已知E(X) 1,D(X) 3，则E[3(X2 2)] [ B ] （A）9 （B）6 （C）30 （D）36

2．设X~B(n,p)，则有 [ D ] （A）E(2X 1) 2np （B）D(2X 1) 4np(1 p) 1 （C）E(2X 1) 4np 1 （D）D(2X 1) 4np(1 p)

3．设 服从参数为 的泊松分布， 2 3，则 [ D ] （A）E( ) 2 3 （C）E( ) 2 3二、填空题：

1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 D(X) 2．设随机变量X的密度函数为f(x)

12e

|x|

D( ) 2 3 （B）E( ) 2 D( ) 4 3 （D）E( ) 2 3

D( ) 2 D( ) 4

( x )，则D(X)

3．随机变量X服从区间[0，2]上的均匀分布，则

D(X)[E(X)]

2

4．设正态分布Y

1

(y 3)

2

，则D(X)

三、计算题：

1．设随机变量X的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3 , 0.5 , .02，求： （1）Y 2X 1的期望与方差；

解：E(X) 1 0.3 2 0.5 3 0.2 1.9

D(X) E(X) (EX) 1 0.3 4 0.5 9 0.2 (1.9) 0.49E(Y) 2E(X) 1 2.8D(Y) 4D(X) 1.96

2

2

2

2．设随机变量X~N(0,1)，试求EX、DX、E(X3)与E(X4)。

1 0

x

2

解：因为X~N

(0,1)，所以E(X)

2

2

xe

2

2

2

。 dx 1（利用分部积分）

2

E(X)

xe

x

2

dx

xe

x

2

dx

0

de

x

2

D(X) E()

2

(EX)

x

2

2

2

;

E(X)

3

xe

3

2

dx 0

2

2

E(X)

4

xe2

4

x

2

d

3

2

xde

x

3

x

x2e

3

2

x

2xe dx

0

xe

2

x

2

2

dx 3E(X) 3.

0 x 2

2 x 4，已知E(X) 2,P(1 X 3) 其它

X

2

ax

3．设随机变量X的分布密度为f(x) bx c

0

34

，

求：（1）常数A，B，C的值； （2）方差D(X)； （3）随机变量Y e的期望与方差。

解：(1)E(X) 2

P(1 X 3)

34

32

83

a 52

563

b 6c 2 (1)34

(2) (3)

a b c

f(x)dx 1 2a 6b 2c 1

14,b

14,c 1.

(1) (3)联立解得a

(2)D(X)

(3)E(Y)

(x 2)f(x)dx

2

20

14

x(x 2)dx

2

42

(1

14

x)(x 2)dx

2

23

20

ef(x)dx

2

x

2

14

xedx

x

42

(1

14

x)edx 1

2

x

14

(e 1)

22

2x

22

D(Y) E(Y) (E(Y))

e

f(x)dx [4

(e 1)]

12

4

e(e2

1)

2

概率论与数理统计练习题

姓名第四章 随机变量的数字特征（三）

一、选择题：

1．对任意两个随机变量X和Y，若E(XY) EX EY，则 [ B （A）D(XY) D(X)D(Y) （B）D(X Y) D(X) D(Y) （C）X与Y相互独立 （D）X与Y不相互独立

2．由D(X Y) D(X) D(Y)即可断定 [ A （A）X与Y不相关 （B）F(x,y) FX(x) FY(y) （C）X与Y相互独立 （D）相关系数 XY 1 二、填空题：

1．设随机变量(X,Y)服从正态分布N(0,0,1,1,0)，则D(3X 2Y) 2．设X与Y独立，且D(X) 6，D(Y) 3，则D(2X Y)

三、计算题：

] ]

1． 已知二维随机变量(X,Y)的分布律如表： 试验证X与Y不相关，但X与Y不独立。 解：下证X与Y不相关，即E(X)E(Y) E(XY)

0.3 75 0 E(X) 1

1

0 .37 5

E(Y) 0,E(XY ) 0 故X与Y不相关

另外P(X 1,Y 1) 0.125,P(X 1) P(Y 1) 0.375. 即P(X 1,Y 1) P(X 1)P(Y 1)

则X与Y不独立。

2．设D(X) 25,D(Y) 36, XY 0.4，求：D(X Y),D(X Y)

解：D(X

Y) 85

，

D(X Y) 37

3．设X~N(0,4),Y~U(0,4)，且X，Y相互独立，求：E(XY),D(X Y),D(2X 3Y) 解：E(XY) 0

2x

4．设X，Y相互独立，其密度函数分别为fX(x)

0

0 x 1其它

e (y 5)

，fY(y)

0

y 5y 5

,

D(X Y)

163

,

D(2X 3Y) 28

，

求E(XY) 解：E(X)

5．（1）设随机变量W (aX 3Y),E(X) E(Y) 0,D(X) 4,D(Y) 16, XY 0.5。求常数a使E(W)为最小，并求E(W)的最小值。

（2）设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且有D(X) X,D(Y) Y。证明当a X Y时，随机变量W X aY与V X aY相互独立。

2

2

2

2

2

2

23

,E(Y) 6,E(XY) E(X)E(Y) 4

解：（1）E(W) E[(aX 3Y)2] a2E(X2) 6aE(XY) 9E(Y2) E(X2) 4,E(Y2) 16,E(XY) 4 故E(W) 4a2 24a 144 4(a 3)2 108. 故当a 3时E(W)取最小值，minE(W) 108.

（2）因为(X,Y)是二维正态变量，而W与V分别是X,Y的线性组合，故由n维正态随机变量的性质知(W,V)也是二维正态变量。现在a X/ Y，故知有 Cov(W,V) Cov(X aY,X aY) X a Y 0

即知W与V不相关，又因(W,V)是二维正态变量，故知W与V是相互独立的。

2

2

222

概率论与数理统计练习题

姓名第五章 大数定律与中心极限定理

一、选择题：

1．设 n是n次重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则对任意的 0均有limP{

n

n

n

p } [ A ]

（A） 0 （B） 1 （C） 0 （D）不存在

2．设随机变量X，若E(X) 1.1,D(X) 0.1，则一定有 [ B ] （A）P{ 1 X 1} 0.9 （B）P{0 X 2} 0.9 （C）P{|X 1| 1} 0.9 （D）P{|X} 1} 0.1

3．X1,X2, ,X1000是同分布相互独立的随机变量，Xi~B(1,p)，则下列不正确的是 [ D ] （A）

11000

1000

2

10001000

i 1

Xi p （B

）P{a

i 1

Xi b}

1000

（C） Xi~B(1000,p) （D）P{a

i 1

i 1

Xi b} (b) (a)

二、填空题：

1．对于随机变量X，仅知其E(X) 3,D(X)

125

，则可知P{|X 3| 3}

2．设随机变量X和Y的数学期望分别为 2和2，方差分别为1和4，而相关系数为 0.5，则根据契比雪夫不等式P X Y 6

三、计算题：

1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问

5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？

解：设第i件零件的重量为随机变量Xi，根据题意得EXi 0.1.

5000

5000

E( Xi) 5000 0.5

2500,D( Xi) 5000 0.01 50.

i 1

i 1

5000

5000

Xi 2500

P( Xi 2510) P

i 1

1 1 0.9207 0.0793.

2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在

( 0.5,0.5)上服从均匀分布。

（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 ？

1500

1500

解：（1）Xi U( 0.5,0.5),E( Xi) 0,D( Xi) 1500

i 1

i 1

112

125.

1500

P(| Xi| 15) Pi 1

15 2[1 (

5

2[1 (1.3)] 0.18.

n

n

（2

）P(| Xi| 10) Pi 1

|

Xi|

0.90 0.95.

根据

10 1.645，故n 12 (

101.645

) 443.4.

2

所以n最多为443个数相加.

3．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。

（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？ （2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？ 解：（1）令Xi 1为第i个病人治愈成功，反之则Xi 0.

100

令Y

i 1

Xi,Y B(100,0.8),E(Y) 80,D(Y) 16.

P(Y 75 )

05

) ( )

4 944.0.8

（2）令Xi 1为第i个病人治愈成功，反之则Xi 0.

100

令Y

i 1

Xi,Y

B(100,0.7),E(Y) 70,D(Y) 21.

P(Y 75) P

1 0.1379.

4、一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个

随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。某天售出300只蛋糕。 （1）求收入至少400元的概率；

（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。

解：（1）设第i只蛋糕的价格为Xi,i 1,2, ,300。则Xi有分布律：

P(Xi 1) 0.3,P(Xi 1.2) 0.2,P(Xi 1.5) 0.5.

由此得E(Xi) 1.29,D(Xi) E(Xi) [E(Xi)] 1.713 1.29 0.0489.

300

222

以X表示这天的总收入，则X

i 1

Xi，由定理得

300

P(X 400) PXi 300 1.29

1 (3.39) 1 1 0.

（2）以Y记300只蛋糕中售价为1.2元的蛋糕的只数，于是Y B(300,0.2).E(Y) 300 0.2，

D(Y) 300 0.2 0.8，由棣莫弗-拉普拉斯定理得

P(Y 60) 1 P(Y 60)

1 PY 60 60 60

1 (0) 0.5.