概率论与数理统计练习题

姓名第四章 随机变量的数字特征（一）

一、选择题：

1．设随机变量X，且E(X)存在，则E(X)是 [ B ] （A）X的函数 （B）确定常数 （C）随机变量 （D）x的函数

x

1 9 e

2．设X的概率密度为f(x) 9

0

x 0x 0

，则E(

19

X) [ C ]

（A）

1

9

x

x e9dx （B）

1

x

9

x e9dx （C） 1 （D）1

3．设 是随机变量，E( )存在，若 （A）E( ) （B）二、填空题：

E( )3

2

3

，则E( ) [ D ]

E( )3

2/3

（C）E( ) 2 （D）

1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则E(X)

(x 1)8

2

2．设X

为正态分布的随机变量，概率密度为f(x) ，则E(2X 1)

2

1162

3．设随机变量X的概率分布

，则E(X 3X)

154．设随机变量X的密度函数为f(x)

12e

|x|

( x )，则E(X)

三、计算题：

1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中最大编号，求E(X)

解：E(X) 3

110

4

310

5

35

4.5

2．设随机变量X的密度函数为f(x)

10

2(1 x)

0 x 1其它

，求E(X)

解：E(X)

x 2(1 x)dx

13

3．设随机变量X~N( , 2)，求E(|X

|)

解： |x |

(x )2

2

2

dx令y

2 x 2

|y|e

y

2

2

dy

0

ye

y

2

dy

e x 4．设随机变量X的密度函数为f(x)

0

x 0x 0

，试求下列随机变量的数学期望。

（1）Y1 e

2X

； （2）Y2 max{X,2}； （3）Y3 min{X,2}

解：（1）E(Y1)

0

e

2x

edx

x

13

.

（2）Y2 max{X,2}

2

x

2,0 x 2 x,x 2

，

E(Y2)

2edx

2

xedx 2 e.

x 2

（3）Y3 min{X,2}

20

x

x,0 x 2 2,x 2

,

E(Y3)

xedx

2

2edx 1 e.

x 2

概率论与数理统计练习题

姓名第四章 随机变量的数字特征（二）

一、选择题：

1．已知E(X) 1,D(X) 3，则E[3(X2 2)] [ B ] （A）9 （B）6 （C）30 （D）36

2．设X~B(n,p)，则有 [ D ] （A）E(2X 1) 2np （B）D(2X 1) 4np(1 p) 1 （C）E(2X 1) 4np 1 （D）D(2X 1) 4np(1 p)

3．设 服从参数为 的泊松分布， 2 3，则 [ D ] （A）E( ) 2 3 （C）E( ) 2 3二、填空题：

1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 D(X) 2．设随机变量X的密度函数为f(x)

12e

|x|

D( ) 2 3 （B）E( ) 2 D( ) 4 3 （D）E( ) 2 3

D( ) 2 D( ) 4

( x )，则D(X)

3．随机变量X服从区间[0，2]上的均匀分布，则

D(X)[E(X)]

2

4．设正态分布Y

1

(y 3)

2

，则D(X)

三、计算题：

1．设随机变量X的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3 , 0.5 , .02，求： （1）Y 2X 1的期望与方差；

解：E(X) 1 0.3 2 0.5 3 0.2 1.9

D(X) E(X) (EX) 1 0.3 4 0.5 9 0.2 (1.9) 0.49E(Y) 2E(X) 1 2.8D(Y) 4D(X) 1.96

2

2

2

2．设随机变量X~N(0,1)，试求EX、DX、E(X3)与E(X4)。

1 0

x

2

解：因为X~N

(0,1)，所以E(X)

2

2

xe

2

2

2

。 dx 1（利用分部积分）

2

E(X)

xe

x

2

dx

xe

x

2

dx

0

de

x

2

D(X) E()

2

(EX)

x

2

2

2

;

E(X)

3

xe

3

2

dx 0

2

2

E(X)

4

xe2

4

x

2

d

3

2

xde

x

3

x

x2e

3

2

x

2xe dx

0

xe

2

x

2

2

dx 3E(X) 3.

0 x 2

2 x 4，已知E(X) 2,P(1 X 3) 其它

X

2

ax

3．设随机变量X的分布密度为f(x) bx c

0

34

，

求：（1）常数A，B，C的值； （2）方差D(X)； （3）随机变量Y e的期望与方差。

解：(1)E(X) 2

P(1 X 3)

34

32

83

a 52

563

b 6c 2 (1)34

(2) (3)

a b c

f(x)dx 1 2a 6b 2c 1

14,b

14,c 1.

(1) (3)联立解得a

(2)D(X)

(3)E(Y)

(x 2)f(x)dx

2

20

14

x(x 2)dx

2

42

(1

14

x)(x 2)dx

2

23

20

ef(x)dx

2

x

2

14

xedx

x

42

(1

14

x)edx 1

2

x

14

(e 1)

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