3_1矩阵的概念及运算

第三章

矩阵的运算

矩阵是线性代数的主要研究对象。 矩阵是线性代数的主要研究对象。 它在线性代 数与数学的许多分支中都有重要应用, 数与数学的许多分支中都有重要应用 许多实际问 题可以用矩阵表达并用有关理论解决。 题可以用矩阵表达并用有关理论解决。 本章介绍矩阵的概念, 矩阵的基本运算, 本章介绍矩阵的概念 矩阵的基本运算 矩阵 的秩, 可逆矩阵以及矩阵的初等变换, 的秩 可逆矩阵以及矩阵的初等变换 分块矩阵的 概念及其运算。 概念及其运算。

第一节

矩阵的概念及运算

一、矩阵概念的引入 a11 x1 + a12 x 2 + L + a1 n x n = b1 a x + a x + L+ a x = b 22 2 2n n 2 1. 线性方程组 21 1 LLLLLLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn 的解取决于 系数aij (i, j = 1,2,L, n),

常数项 bi (i = 1,2,L,n)

线性方程组的系数与常数项按原位置可排为

a11 a21 L an1

a12 a22 L an2

L L L L

a1n a2n L ann

b1 b2 L bn

2. 某航空公司在 某航空公司在A,B,C,D四 四 城市之间开辟了若干航线 , 如图所示表示了四城市间的 航班图,如从 如从A到 有航班 有航班,则 航班图 如从 到B有航班 则 用带箭头的线连接 A 与B.

对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究. 这张表的研究 (线性方程组的 增广矩阵。) 增广矩阵。) B

A

CD

四城市间的航班图情况常用表格来表示: 四城市间的航班图情况常用表格来表示 到站 B D A C

发站

A B C D表示有航班. 表示有航班 改成1,空白地方填上 改成 空白地方填上

其中

为了便于计算,把表中的 为了便于计算 把表中的 0,就得到一个数表 就得到一个数表: 就得到一个数表

A A B C D0 1 1 01

B

C

D

1 1

0 0 1

0 0

0 0 1 0

这个数表反映了四城市间交通联接情况. 这个数表反映了四城市间交通联接情况

用矩阵表示 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0

二、矩阵的概念1. 定义 由 m × n 个数 aij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ) 排成的 m行 n 列的数表

a11 a21 M am 1

a12 a22 M

L a1n L a2 n M

am 2 L amn

称为m行 列矩阵 列矩阵. 矩阵. 称为 行n列矩阵.简称 m × n 矩阵. 记作

a11 a 21 A= L a m1简记为 A,

a12 a22 L am 1ij

L a1n L a2 n L L L amn ij m× n

矩阵A的 (m, n)元

Am×n ,

(a ), (a )

.

这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是实数的矩阵称为实矩阵， 实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵。 元素是复数的矩阵称为复矩阵。 复矩阵

例如

1 0 3 5 是一个 2 × 4 实矩阵 实矩阵, 9 6 4 3

13 6 2i 是一个 3 × 3 复矩阵 复矩阵, 2 2 2 2 2 2 × 矩阵, (2 3 5 9) 是一个 1× 4

矩阵

1 矩阵, 2 是一个 3 × 1 矩阵 4

(4) 是一个 1 × 1 矩阵 矩阵.

注意矩阵与行列式的区别 (1)行列式是一个算式，有n!项。一个数字 行列式是一个算式， n!项 行列式经过计算可求得其值。 行列式经过计算可求得其值。而矩阵仅仅表示这些 元素按一定要求排成一矩形阵列，是一个数表。 元素按一定要求排成一矩形阵列，是一个数表。

(2)行列式的行数与列数必须相等，而矩阵 行列式的行数与列数必须相等，无此限制。 无此限制。

2. 几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ,称为 n 阶 (1)行数与列数都等于 方阵. 方阵.也可记作 An . 例如

13 6 2i 2 2 2 2 2 2

是一个3 阶方阵 是一个 阶方阵.

(2)只有一行的矩阵 (2)只有一行的矩阵

A = ( a1 a2 L an ) ,A = (a1 , a2 ,L, an ),

称为行矩阵(或行向量) 称为行矩阵(或行向量). 行矩阵 也可记作

只有一列的矩阵

a1 a2 B = , 称为列矩阵(或列向量). 列矩阵( 称为列矩阵 或列向量). M a n 零矩阵， (3)元素全为零的矩阵称为零矩阵， × n 零 )元素全为零的矩阵称为零矩阵 m 矩阵记作 om×n 或 o .

3.同型矩阵与矩阵相等的概念 3.同型矩阵与矩阵相等的概念 (1)两个矩阵的行数相等 列数相等时,称为同型 两个矩阵的行数相等, (1)两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型 矩阵. 矩阵 1 2 14 3 同型矩阵. 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵 3 7 3 9 同型矩阵, (2) 两个矩阵 A = aij 与B = bij 为同型矩阵 并且对应元素相等,即 并且对应元素相等 即

( )

( )

aij = bij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ),则称矩阵 与B相等,记作 则称矩阵 A与 相等 记作 A = B .

例1

设

1 2 3 A= , 3 1 2

1 B= y

x 3 , 1 z

已知 A = B , 求 x , y , z .解

Q A = B, ∴ x = 2, y = 3, z = 2.