一 函数的定义域【例 1】 (1)函数y= x2-2x-3+log2(x+2)的定义域是__________; 1 (2)若函数y=2x2+kx+1的定义域为R,则实数k的 取值范围是__________.

x2-2x-3≥0 【解析】 (1)由 ,得{x|-2<x≤ x+2>0

-1 或 x≥3},即为所求. (2)由已知 2x2+kx+1≠0 对 x∈R 恒成立， 所以 Δ=k2-8<0,解得-2 2<k<2 2.

【点评】 函数的定义域就是指使这个式子有意义的所 有实数 x 的集合.在一些具体函数综合问题中，函数 的定义域往往具有隐蔽性，所以在研究这些问题时， 必须树立“定义域优先”的原则.而逆向问题注意命 题的等价转化.

素材1

(1)函数 f(x)=lg 1-x2的定义域为( B ) A.[0,1] B.(-1,1) C.[-1,1] D.(-∞,-1)∪(1,+∞) (2)若 f(x+1)的定义域为[-2,3),则 f(2x-1) 的定义域为 5 [0,2) .

【解析】(1)由 1-x2>0,得-1<x<1,故选 B. (2)因为-2≤x<3,所以-1≤x+1<4. 5 由-1≤2x-1<4,得 0≤x<2, 5 故 f(2x-1)的定义域为[0,2).

二

函数的解析式

【例 2】求下列函数的解析式： (1)已知二次函数满足 f(3x+1)=9x2-6x+5, f(x); 求 (2)已知 2f(x)+f(-x)=3x+2,求 f(x).

【分析】 根据条件可灵活运用不同的方法求解.

【解析】 (1)方法 1:待定系数法. 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+ 3b)x+a+b+c. 又 f(3x+1)=9x2-6x+5, 所以 9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5.

比较两端的系数， 9a=9 得 6a+3b=-6 a+b+c=5 a=1 ,解得 b=-4 c=8

.

所以 f(x)=x2-4x+8.

方法 2:换元法. t-1 令 t=3x+1,则 x= 3 , 代入 f(3x+1)=9x2-6x+5 中， t-1 2 t-1 得 f(t)=9( 3 ) -6· 3 +5=t2-4t+8, 所以 f(x)=x2-4x+8.

(2)直接列方程组求解. 由 2f(x)+f(-x)=3x+2,用-x 代换上式中的 x, 得 2f(-x)+f(x)=-3x+2. 2f x +f -x =3x+2 解方程组 , 2f -x +f x =-3x+2

2 得 f(x)=3x+3.

【点评】函数的解析式是函数与自变量之间的一种 对应关系，是函数与自变量之间建立的桥梁.求函数的 解析式是高考中的常见问题，其特点是类型活，方法 多.求函数的解析式常有以下几种方法：①如果已知函 数 f[g(x)]的表达式， 可用换元法或配凑法求解； ②如果已 知函数的结构，可用待定系数法求解；③如果所给式子 1 含有 f(x)、f(x)或 f(x)、f(-x)等形式，可构造另一方程， 通过解方程组求解.

素材2

已知 f(1-cosx)=sin2x.

【解析】因为 f(1-cosx)=sin2x=1-cos2x, 设 1-cosx=t, 因为 cosx∈[-1,1],所以 t∈[0,2], 所以 f(t)=1-(1-t)2=-t2+2t, 所以 f(x)=-x2+2x,x∈[0,2].

三

函数创新

题

【例 3】(2011· 湖南卷)给定 k∈N*,设函数 f:N*→N* 满足：对于任意大于 k 的正整数 n,f(n)=n-k. (1)设 k=1, 则其中一个函数 f 在 n=1 处的函数值为 ____________; (2)设 k=4,且当 n≤4 时，2≤f(n)≤3,则不同的函 数 f 的个数为__________.

【解析】 (1)由题可知 f(n)∈N*, k=1, 而 n>1 时， f(n) =n-1∈N*,故只须 f(1)∈N*,故 f(1)=a(a 为正整数). (2)由题可知 k=4,n>4 时，f(n)=n-4∈N*, 而 n≤4 时，2≤f(n)≤3, 即 f(n)∈{2,3},即 n∈{1,2,3,4},f(n)=2 或 3, 由映射个数求法可知不同函数 f 的个数为 24=16.