计量经济学

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第五章

异方差性1

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引子：更为接近真实的结论是什么？ex1:根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与人口

数资料，分析医疗机构与人口数量的关系，建立卫 生医疗机构数与人口数的回归模型。对模型估计的 结果如下：

-563.0548 5.3735 X Y i i(291.5778) (0.644284) t (-1.931062) (8.340265)

R2 0.785456 R 2 0.774146

F 69.56003

式中 Y 表示卫生医疗机构数(个), X 表示人口 数量(万人)。2

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模型显示的结果和问题

●人口数量对应参数的标准误差较小； ● t统计量远大于临界值，可决系数和修正的可决系 数结果较好，F检验结果明显显著； 表明该模型的估计效果不错，可以认为人口数量 每增加1万人，平均说来医疗机构将增加5.3735人。 然而，这里得出的结论可能是不可靠的，平均说来 每增加1万人口可能并不需要增加这样多的医疗机构， 所得结论并不符合真实情况。 有什么充分的理由说明这一回归结果不可靠呢？更 为接近真实的结论又是什么呢？3

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第五章 异 方 差 性本章讨论四个问题：

●异方差的实质和产生的原因 ●异方差产生的后果 ●异方差的检测方法 ●异方差的补救

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第一节 异方差性的概念本节基本内容：●异方差性的实质 ●异方差产生的原因

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一、异方差性的实质同方差的含义同方差性：对所有的 i (i 1,2,..., n) 有：

Var(ui ) = σ 2

(5.1)

因为方差是度量被解释变量 Y 的观测值围绕回归线 E(Yi ) 1 2 X 2i 3 X 3i ... k X ki (5.2) 的分散程度，因此同方差性指的是所有观测值的 分散程度相同。

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异方差性的含(ex2)设模型为Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ... k X ki ui i 1,2,..., n

如果对于模型中随机误差项 u i 有：

Var(ui ) i2 , i 1, 2,3,..., n (5.3) 则称具有异方差性。进一步，把异方差看成是由于某 个解释变量的变化而引起的，则Var(ui ) i2 2 f ( X i )(5.4)

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图形表示概 率 密 度

Y

X

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二、产生异方差的原因(一)模型的设定误差(模型中省略了某些重要的解释变量)假设正确的计量模型是： Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ui假如略去 X 3i ,而采用Yi 1 2 X 2i ui** u ( 5.5 ) i

X 3i

当被略去的 X 3i 与 X 2i 有呈同方向或反方向变 化的趋势时,随 X 2i 的有规律变化会体现在(5.5) * u 式的 i 中。9

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(三)数据的测量误差样本数据的观测误差有可能随研究 范围的扩大而增加，或随时间的 推移逐步积累，也可能随着观测 u i* 技术的提高而逐步减小。X 3i

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(四)截面数据中总体各单位的差异通常认为，截面数据较时间序列数据更容易产生

异方差。这是因为同一时点不同对象的差异，一 般说来会大于同一对象不同时间的差异。不过， 在时间序列数据发生较大变化的情况下，也可能 出现比截面数据更严重的异方差。

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第二节 异方差性的后果本节基本内容：●对参数估计统计特性的影响 ●对参数显著性检验的影响 ●对预测的影响

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一、对参数估计统计特性的影响(一)参数估计的无偏性仍成立参数估计的无偏性仅依赖于基本假定 中的零均值假定, E(ui ) 0 ,所以 异方差的存在对无偏性的成立没有 影响。

2 2 ki uiE 2 E 2 E ( ki ui ) 因为E (ui ) 0 所以 E 2 2^

^

^

^

(二)参数估计的方差不再是最 小的的前提条件，所以随机误差项 是异方差时，将不能再保证最 小二乘估计的方差最小。

2 2 2 2 f ( X ) x f ( X ) i i i 同方差假定是OLS估计方差最小 Var ( 2* ) i 2 xi xi2 xi2 xi2

2 xi2

2 x i f (Xi )

x

2 i

Var ( 2 )

^

2 x i f (Xi )

x

2 i

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二、对参数显著性检验的影响由于异方差的影响，使得无法正确估计参数的标

准误差，导致参数估计的 t 统计量的值不能正确确定，所以，如果仍用 t 统计量进行参数的显著

性检验将失去意义。

t

2 E 2SE 2^

^

^

2Var 2^

^

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三、对预测的影响尽管参数的OLS估计量仍然无偏，但是由于参数估计量不 是有效的，从而对Y的预测也将不是有效的。随机扰动项 的标准误随X变动

Y的平均值预测区间YF Y F t 2 ^ ^

Y 的个别值预测区间 YF Y F

1 ( X F X )2 ^ 1 ( X F X )2 Y F t 2 SE (u ) 2 2 n x n x i i

1 ( X F X )2 ^ 1 ( X F X )2 1 t 2 Y F t 2 SE (u ) 2 n n xi xi215

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第三节 异方差性的检验常用检验方法:●图示检验法 ● Goldfeld-Quanadt检验 ● White检验 ● ARCH检验

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一、图示检验法(一)相关图形分析方差描述的是随机变量取值的(与其均值的)离散程度。因为被解释变量 Y 与随机误差项

u 有相同的

方差，所以利用分析 Y 与 X 的相关图形，可以初略地看到 Y 的离散程度与 X 之间是否有相关关系。 如果随着 X 的增加， Y 的离散程度为逐渐增大(或 减小)的变化趋势，则认为存在递增型(或递减型) 的异方差。17

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图形举例(或见例2)用1998年四川省各地市州农村居民家庭消费支出与家庭纯 收入的数据，绘制出消费支出对纯收入的散点图,其中用 X 1 表示家庭纯收入。 Y1 表示农村家庭消费支出，

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(二)残差图形分析(ex1)设一元线性回归模型为： Yi β1 β2 X i ui

运用OLS

法估计,得样本回归模型为： +β X =β Y i 1 2 i由上两式得残差：

ei Yi - Y i

绘制出 ei2 对 X i的散点图 ◆如果 ui 不随 X i 而变化，则表明不存在异方差； ◆如果 u i 随 X i 而变化，则表明存在异方差。19

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二、Goldfeld-Quanadt检验作用：检验递增性(或递减性)异方差。基本思想：将样本分为两部分，然后分别对两个样 本进行回归，并计算两个子样的残差平方和所构成 的比，以此为统计量来判断是否存在异方差。

(一) 检验的前提条件1、要求检验使用的为大样本容量。 2、除了同方差假定不成立外，其它假定均满足。

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(二)检验的具体做法1.排序

将解释变量的取值按从小到大排序。2.数据分组 将排列在中间的约1/4的观察值删除掉，记 为

c,再将剩余的分为两个部分，每部分观察

值的个数为 (n - c) / 2 。 3.提出假设

H0 : σ = σ , i =1,2,..., n;

2 i

2

H1 : σ σ ... σ2 1 2 2

2 n21