工程数学(复变函数 积分变换 场论)

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第三章第一节第二节第三节第四节第五节

复变函数的积分

复变函数积分的概念柯西----古萨基本定理原函数与不定积分柯西积分公式解析函数与调和函数的关系

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第一节

复变函数积分的概念

第一节第三章复变函数的积分

复变函数积分的概念

一复变函数积分的定义二积分存在的条件及其计算法三积分的性质

吴新民

-2-

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第一节

复变函数积分的概念

一第三章复变函数的积分

复变函数积分的定义设 C是复平面一条光滑(或按段光滑)的曲线，

如果选定 C的两个可能的方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们可以将 C理解为带有方向的曲线，称 B为有向曲线，如果 C是一条以 A与为端点的有向曲线，如果从 A到 B为 C的正向，则称从 B到 A方向C 。除特为正向的有向曲线称为 C反向曲线，记为

别声明外，有向曲线 C的正向总是指起点到终点的方向，对一简单闭曲线总是指逆时针方向。吴新民-3-

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第一节

复变函数积分的概念

定义

C设函数 w f (z )在区域 D有定义，为

第三章复变函数的积分

D内一条以 A为起点 B为终点的光滑的有向曲线，如果将曲线 C从起点到终点依次任意分成 n个小弧段，

分点为

A z0, z1, z2, , zk 1, zk, , zn B

在每个小弧段 zk 1 zk任取一点 k,作和式

记 sk为小弧段 zk 1 zk小的弧长， max{ sk},当 1 k n

f ( k )( zk zk 1 ) f ( k ) zk k 1 k 1

n

n

趋向于零时，如果对 C的无论怎样分法及 k在小弧段上的无论怎样取法，和式有唯一的极限，则称吴新民-4-

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第一节

复变函数积分的概念

极限值为函数 f (z )在 C上的积分，记作 f ( z )dz。即第三章复变函数的积分

f ( z )dz lim f ( k ) zk 0 k 1 CC

n

C

( 3.1.1)

如果 C是闭曲线，则我们将沿闭曲线的积分记为： f ( z )dz

吴新民

-5-

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第一节

复变函数积分的概念

二第三章复变函数的积分

积分存在的条件及其计算法设光滑曲线 C是由方程： z z ( t ) x ( t ) iy( t ) t [ , ]([ , ])

确定，其正向是从起点 A到终点 B的方向，其中 为 且起点 A参数，是终点 B的参数， z ( t ) x ( t ) iy ( t ) 0如果函数 f ( z ) u( x, y ) iv ( x, y )在区域 D上连续，即 u( x, y )、v ( x, y )为 D上的连续函数。设 k k i k由于 z z k z k 1 x k x k 1 i ( y k y k 1 ) x k i y k吴新民-6-

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第一节

复变函数积分的概念n

所以

f ( k ) zk [u( k, k ) xk v( k,

k ) yk] k 0 k 1第三章复变函数的积分

n

i [v ( k, k ) xk u( k, k ) yk]

n

由线积分存在定理得，当 0上面的两个和式的极限都是存在的，且有 f ( z )dz udx vdy i vdx udy( 3.1.2)表明：C C C

k 1

( 3.1.2)

1)当 f (z )是连续函数，是光滑曲线，则 f ( z )dz C一定存在；吴新民-7-

C

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第一节

复变函数积分的概念

2)计算复函数的积分可以转化为计算两个平面上对坐标的曲线积分。第三章复变函数的积分

根据对坐标的曲线积分的计算法，有 u( x, y )dx v( x, y )dyC

[u( x ( t ), y( t )) x ( t ) v ( x ( t ), y( t )) y ( t )]dt

v( x, y )dx u( x, y )dy C [v ( x ( t ), y( t )) x ( t ) u( x ( t ), y( t )) y ( t )]dt

因此吴新民

f ( z )dz f ( z(t ))z (t )dt C-8-

( 3.1.3)

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第一节

复变函数积分的概念

如果 C是分段光滑的有向曲线，即 C是由几段光滑的有向曲线 C1, C 2, , C m依次首尾相接而构成的，则第三章复变函数的积分

我们规定：

f ( z )dz C f ( z )dz k 1 Ck

m

( 3.1.4)

例1

计算积分 zdz,其中 C为C

O沿曲线 z t t 2 i到点 1 i; 1)从原点 O沿曲线 z t 2 it到点 1 i; 2)从原点

1 i。吴新民

3)从原点 O沿实轴到点1,再平行于虚轴到点-9-

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第一节

复变函数积分的概念

解第三章复变函数的积分

zdz ( t it 2 ) (1 2it )dt y 1) 1

C

0

z t it 2

( t 2t 3it )dt i3 2 01

1

A

z t 2 it

1 i

zdz ( t 2 it ) ( 2t i )dt 2) 0C

O

B

x

( 2t 3 t 3it 2 )dt i0

1

C 3) C1 C 2, C1: z x,从 x 0到 x 1, C 2: z 1 iy,从 y 0到 y 1。C

zdz zdz zdz 0 xdx 0 (1 iy )idy1 1

i

C1

C2

吴新民

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第一节

复变函数积分的概念

例2

计算积分 zdz,其中 C为C

第三章复变函数的积分

O沿曲线 z t t 2 i到点 1 i; 1)从原点 O沿曲线 z t 2 it到点 1 i; 2)从原点3)从原点 O沿实轴到点1,再平行于虚轴到点1 i。

解

zdz ( t it 2 )(1 2it )dt 1) 01

yA

z t it 2

i ( t 2t it )dt 1 0 3 1 2 2) zdz ( t it )( 2t i )dt3 2

C 1

1 i

z t 2 it

O