同济六版高等数学第三章第五节课件

发布时间：2024-10-12

同济六版高等数学第三章课件

§3.5 函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法

二、最大值最小值问题

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一、函数的极值及其求法函数的极值设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义如果对于任意。 x U(x0)有 f(x) f(x0) (或f(x) f(x0)) 则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值) 函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点称为极值点

提问：f(a)和 f(b)是极值吗？

观察与思考：观察极值与切线的关系首页上页返回

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定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导且在x0处取得极值那么f (x0) 0 >>> 驻点使导数f (x)为零的点(方程f (x) 0的实根)称为函数 f(x)的驻点讨论：极值点是否一定是驻点？驻点是否一定是极值点？考察x 0是否是函数y x3的驻点是否是函数的极值点 x1 x2首页上页返回下页

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定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导且在x0处取得极值那么f (x0) 0 驻点使导数f (x)为零的点(方程f (x) 0的实根)称为函数 f(x)的驻点观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值之间的关系 (2)观察曲线的凹凸性与极值之间的关系 x1 x2首页上页返回下页

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定理2(第一充分条件)设函数f(x)在x0处连续且在(a x0) (x0 b)内可导 (1)如果在(a x0)内f (x) 0 在(x0 b)内f (x) 0 那么函数f(x) 在x0处取得极大值 (2)如果在(a x0)内f (x) 0 在(x0 b)内f (x) 0 那么函数f(x) 在x0处取得极小值 (3)如果在(a x0)及(x0 b)内 f (x)的符号相同那么函数f(x) 在x0处没有极值

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确定极值点和极值的步骤(1)求出导数f (x) (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点 (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号 (4)确定出函数的所有极值点和极值首页上页返回下页结束铃

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例1 例 1 求函数 f (x) (x 4)3 (x 1)2 的极值解 (1)f(x)在( )内连续除x 1外处处可导且

5(x 1) 3 3 x 1 (2)令f (x) 0 得驻点x 1 x 1为f(x)的不可导点 f (x) (3)列表判断

xf (x)

( 1)

1不可导

(

1 1)

(1 )

f(x)

↗

↘

33 4

↗

(4)极大值为 f( 1) 0 极小值为 f (1) 33 4

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定理3(第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0) 0 f (x0) 0 那么 (1)当f (x0) 0时函数f(x)在x0处取得极大值 >>> (2)当f (x0) 0时函数f(x)在x0处取得极小值

应注意的问题：如果f (x0) 0 f (x0) 0 则定理3不能应用但不能由此说明f (x0)不是f (x)的极值。

讨论：函数f(x) x4 g(x) x3在点x 0是否有极值？ >>>

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例2 求函数f(x) (x2 1)3 1的极值解 f (x) 6x(x2 1)2 令f (x) 0 求得驻点x1 1 x2 0 x3 1 f (x) 6(x2 1)(5x2 1) 因为f (0) 6 0 所以f (x)在x 0处取得极小值极小值为f(0) 0 因为f ( 1) f (1) 0 所以用定理3无法判别

因为在 1的左右邻域内f (x) 0 所以f(x)在 1处没有极值同理 f(x)在1处也没有极值

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二、最大值最小值问题观察与思考：观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点怎样求函数的最大值和最小值

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极值与最值的关系闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极值点处取得函数在闭区间[a b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者

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最大值和最小值的求法 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点设这此点为x1 x2 xn (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) (3)判断: 最大者是函数f(x)在[a b]上的最大值最小者是函数f(x)在[a b]上的最小值

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例3 求函数f(x) |x2 3x 2|在[ 3 4]上的最大值与最小值 2 x [ 3, 1] [2, 4] 解：解法一 f (x) x 3x 2 解 x 2 3x 2 x (1, 2) x ( 3, 1) (2, 4) 2x 3 f (x) 2x 3 x (1, 2) 3 在( 3 4)内 f(x)的驻点为 x 不可导点为 x 1 和 x 2 23 1 由于 f( 3) 20 f(1) 0 f ( ) f(2) 0 f(4) 6 2 4 比较可得f( 3) 20是 f(x)在[ 3 4]上的最大值 f(1) f(2) 0是f(x) 在[ 3 4]上的最小值

令 ( x) f 2 ( x) 由于 (x) 与 f (x) 最值点相同 , 因此也可通过 (x) 求最值点.解法二首页

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例4 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A点到火车站 B的距离为100km 欲修一条从工厂到铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5 为了使火车站B与工厂C间的运费最省问D点应选在何处？解设AD x(km) B与C间的运费为y 则 y 5k CD 3k DB (k是某个正数)

即

y 5k 400 x2 3k (100 x) (0 x 100) A20km C首页上页返回下页结束铃

100km

DB 100 x

CD 400 x 2