高等代数课件(北大版)第二章 行列式§2.7

高等代数课件(北大版)第二章 行列式§

第二章 行列式§1 引言 §2 排列 §3 n 级行列式 §4 n 级行列式的性质 §5 行列式的计算 §6 行列式按行(列)展开 §7 Cramer法则 §8 Laplace定理 行列式乘法法则

2012-9-22

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一、非齐次与齐交线性方程组的概念 二、克兰姆法则及有关定理

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一、非齐次与齐交线性方程组的概念设线性方程组 a11 x1 a12 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a 1 n x n b1 a 2 n x n b2 a nn x n bn

(1)

若常数项 b1 , b 2 , , b n 不全为零，则称(1)为 非齐次线性方程组. 简记为2012-9-22

a ij x jj 1

n

bi ,

i 1, 2 , , n .

§2.7 Cramer法则

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若常数项 b1 b 2 b n 0 , 即 a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0

(2)

则称(2)为齐次线性方程组. 简记为

a ij x jj 1

n

0,

i 1, 2 , , n .

§2.7 Cramer法则2012-9-22

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二、克兰姆法则如果线性方程组(1)的系数矩阵 a11 a 21 A a n1 a 12 a 22 an2 a1n a2n a nn

的行列式 D | A | 0 ,则方程组(1)有唯一解x1 D1 D , x2 D2 D , , xn Dn D

§2.7 Cramer法则2012-9-22

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其中 D j ( j 1, 2 , , n ) 是把行列式 D 中第 j 列 的元素用方程组(1)的常数项 b1 , b 2 , , b n 代换 所得的一个 n 阶行列式，即a11 a 21 Dj a n1 a1, j 1 a 2 , j 1 a n , j 1 b1 a 1 , j 1 b2 a 2 , j 1 bn a n , j 1 nD | A | 0

a1n a2n a nn

b1 A 1 j b 2 A 2 j b n A n j

b s A sj .s 1

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例1:解线性方程组x1 x 2 x 3 x 4 5 x1 2 x 2 x 3 4 x 4 2 2 x 3 x x 5 x 2 1 2 3 4 3 x1 x 2 2 x 3 11 x 4 0

解：方程组的系数行列式1 1 1 1 1 2 1 4 D 142 0 2 3 1 5 3 1 2 11§2.7 Cramer法则2012-9-22 数学与计算科学学院

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5 1 1 1 2 2 1 4 D1 142 2 3 1 5 0 1 2 11

∴ 方程组有唯一解(1,2,3,-1).

§2.7 Cramer法则2012-9-22

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撇开求解公式，克兰姆法则可叙述为下面的定理 定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0 , 则方程组(1)一定有解，且解是唯一的. 推论 如果线性方程组(1)无解或有两个不同解， 则方程组的系数行列式 D 必为零. 定理2 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D 0,

则

方程组(2)没有非零解，即只有零解.数学与计算科学学院

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注： 对于齐次线性方程组 a11 x1 a12 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a1n x n 0 a2n xn 0 a nn x n 0

(2)

x1 x 2 x n 0

一定是它的解，称之为零解.

(2)的除零解外的解(若还有的话)称为非零解.

§2.7 Cramer法则2012-9-22

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推论 如果齐次线性方程组(2)有非零解，则 它的系数行列式 D =0. 注： 在第三章中还将证明这个条件也是充分的 .即 a 11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0

有非零解 d et( a ij ) 0 .

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例2:问 取何值时，齐次线性方程组有非零解? (5 ) x1 2 x 2 2 x 3 0 2 x1 (6 ) x 2 0 2 x1 (4 ) x 3 0

解: 若方程组有非零解，则5 2 2 D 2 6 0 ( 5 )( 2 )( 8 ) 0 2 0 4 .

∴ 当 2 , 5 , 8 时，方程组有非零解.§2.7 Cramer法则2012-9-22 数学与计算科学学院