线性代数第二章1-2 行列式

第二章 行列式第一节 第二节 第三节 第四节 行列式的定义 行列式的性质及其计算 矩阵的秩 克莱姆法则

2.1 行列式的定义2.1.1 二、三阶行列式例： 设有二元一次线性方程组 a11 x1 a12 x2 b1 , (a11a22 a21a12 ) x1 b1a22 b2 a12 a21 x1 a22 x2 b2 当a11a22 a21a12 0 时， b1a22 b2 a12 a11b2 a21b1 x1 , x2 a11a22 a21a12 a11a22 a21a12 a11 设记号： a21 则： b1 b2 a12 a11a22 a21a12 a22 a12 b1a22 b2 a12 a22 a11 b1 a11b2 a21b1 a21 b22

a11 x1 a12 x2 b1 这时，方程组 的解为 a21 x1 a22 x2 b2 b1a22 b2 a12 a11b2 a21b1 x1 , x2 a11a22 a21a12 a11a22 a21a12 用行列式表示： b1 a12 a11 b1 b2 a22 x1 , a11 a12 a21 a22 a21 b2 x2 a11 a12 a21 a223

2 x1 3 x2 1 例：解方程组 的解 3x1 2 x2 0 解：利用行列式表示 1 3 0 2 1 ( 2) 0 3 2 2 x1 , 2 3 2 ( 2) 3 3 13 13 3 2 2 3 x2 2 3 1 0 2 0 3 1 3 3 13 13 2

三阶行列式 设有三元一次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3 当a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12 a21a33 a13a22a31 0 时， 方程组有惟一解： b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 x1 , a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a21 a31 x2 a11 a21 a31 b1 a13 b2 a23 b3 a33 , a12 a13 a22 a23 a32 a33 a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 x3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a335

a11 3阶行列式 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a11a22 a33 a12 a23a31 a13 a21a32 a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31 用对角线规则计算： a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a336

n 阶行列式的定义任意一个n阶矩阵A aij),将它对应一个数，称为A的行列式， ( 记为 : a11 det A a21 an1 注意： 1) 矩阵A是n n的数表，而行列式是一个数 2) 矩阵可以有：行数m 列数n 只有方阵才有行列式：行数=列数 行数 列数的矩阵没有行列式7

a12 a1n a22 a2 n an 2 ann

n 阶行列式值的定义对任意一个n 阶矩阵A, a11 a21 A an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n aij ann

aij的余子矩阵 Aij : 去掉第i行和第j列后的矩阵,是n-1阶矩阵 aij 的余子式: Aij aij的代数余子式:的行列式 det Aij , 记为M ij,是n-1阶行列式 Aij =(-1)i j det

Aij8

2 0 例如：矩阵A 1 4 2 3 4 a11的余子矩阵A11 3 a11的余子式 4 0 3 1

4 0 1 0 1 1 1

4, a11的代数余子式 A11 ( 1) 0 1

4 0 3 1

4

1 a12的余子矩阵A12 2 1 0 a12的余子式

1, 2 1

a12的代数余子式 A12 ( 1)

1 2

1 0 1 2 1

2 0 0 3 3 2 a33的余子式 8, a33的代数余子式 A33 ( 1) 8 1 4 1 49

定义2.1 对于1阶矩阵A a11 的行列式定义为数a11 det (a11 ) a11 对于n 阶(n 2)矩阵A的行列式值定义为： det A a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 jj 1 n n

=

a1 j ( 1)1 j det A1 j j 1

上式称为行列式按第一行的展开式。

例

计算 det A

34

2 2 1 0 1 5 1

解 : detA a11 A11 a12 A a A 12 13 13

1 1 0 5 ( 2)( 1)1 2 3 5 ( 1)( 1)1 3 3 0 2 ( 1)1 -1 4 -1 4 1

2 0 ( 1) 5 1 ( 2) 3 ( 1) 5 4 ( 1) 3 1 0 4 2 ( 5) ( 2) ( 23) ( 1) 3 59

a11 a21 例：求下三角矩阵A an1 a11 0 0 det A a21 an1 0 a22 0 an 2 ann 0 0

0 a22 an 2

0 0 的行列式 ann

a11 A11 0 A12 0 A1n a11 A11

a22 a11 a32 an 2

a33 a11a22 a43 an 3

0

0 0 a11a22 ann

a33

a44

an 3 ann

an 4 ann12

2.2 行列式的性质及其计算定理 2.1 n n 矩阵 A 的行列式可按任意行或列展开式来计算.按第 r 行的展开式为：

det A ar1 Ar1 ar 2 Ar 2 arn Arn arj Arjj 1

n

按第 s 列的展开式为

det A a1s A s a2s A2s ans Ans ais Ais 1i 1

n

例2.6 计算行列式 1 3 2 1 1 2 3 2 1 0 1 0 0 5 0 0 1 2 1 1 3+1 2 1 3 2 =5 1 ( 1) 5 3 2 1 0 0

D=

解： D=5 ( 1)4+2

定理2.2 设A是n 阶方阵，则 det A det AT 证:(对阶数n用归纳法) n 1时成立. 假设对n 1阶矩阵也成立，对n阶矩阵A 将 det A按第1行展开： A a1 j ( 1)1 j det A1 j detj 1 ` 记 AT (aij ), 将 det AT 按第1列展开： n

det AT a `j1 ( 1) j 1 det A`j1 a1 j ( 1)1 j det A`j1j 1 j 1 T T T A `j1 A1 j ,而 A1 j 和A1 j 都是n 1阶矩阵 detA1 j detA1 j T detA `j1 det A1 j detA1 j , 故 det A det AT

n

n

证毕15

例2.8

求n阶行列式 a 0 0 0 b b a 0 0 0 0 b a 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 b a

D=

解：按1行展开： a 0 0 0 b a 0 0 b a 0 0 0 b a 0 D a 0 ( 1)1 n b 0 0 0 0 0 0 0 0 a 0 0 0 a 0 0 0 b16

a a n 1 ( 1)1 n b b n 1 a n ( 1)1 n b n