2014-2015学年数学必修五(人教A版)第二章数列_2.2_等差数列_第一课时_等差数列的

2.2 等差数列

第一课时/等差数列的概念与通项公式课标要求 1.通过实例,理解等差数列和等差中 项的概念. 学法指导 1.要善于通过观察、分析、归纳、 提炼来理解等差数列的概念,同时, 还应准确理解等差数列的关键词 “从第2项起”,“差是同一个常数” 等;要善于用归纳或叠加法探求等差 数列的通项公式.

2.探索并掌握等差数列的通项公式.3.能在具体的问题情境中,发现数列 的等差关系,并能用有关知识解决相 应的问题. 4.体会等差数列与一次函数的关系.

2.利用an+1-an=d(n∈N* )可以帮助我们判断一个数列是否为等差数列.

新课导入 知识探究 题型探究

达标检测

新课导入——实例引领16,32,48,64,80,96,112,128, ,320.

思维激活

实例: (1)有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位:cm)依次为: (2)某次比赛女子举重共设置7个级别,其中较轻的4个级别体重(单位:kg)

分别为:48,53,58,63.(3)某公司技术员的工资有5种级别(单位:千元)8,7,6,5,4. 想一想 1:观察实例中三个数列,每个数列从第2项起,每一项与前一项的

差有什么特点?(等于同一常数)

知识探究——自主梳理1.等差数列的定义

思考辨析

如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数 ,那 么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用

字母d表示.思考1:(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于常数, 该数列是等差数列吗?请举例说明. (2)等差数列的定义用数学符号怎样表示?

提示: (1)不一定是.如数列1,3,7,15, 不是等差数列.(2)在数列{an}中,若an-an-1=d(d为常数,n≥2,n∈N*),则数列{an}是等差 数列.

2.等差中项

a b 2 . 由三个数 a,A,b 组成的等差数列中,A 叫做 a 与 b 的等差中项,A=

3.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则等差数列的通项公式 an= a1+(n-1)d ,通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量n的a b 2

一次函数. 思考2:等差数列{an}的公差为d,第n项an与第m项am(n>m)有何关系? 提示:an=am+(n-m)d.

题型探究——典例剖析题型一 等差数列的判定与证明【例 1】 已知数列{an}满足 a1=4,an=4(1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式.4 a n 1

举一反三

(n>1),记 bn=

1 . an 2

名师导引: (1)要证{bn}是等差数列,只需证bn+1-bn=常数或bn-bn-1=常数 (n≥2且n∈N*).

(2)利用(1)的结论先求bn,再求an.

(1)证明:∵bn+1-bn=

1 1 1 1 = an 2 an 1 2 an 2 4 4 2 a n

=

an 1 a 2 1 = n = . 2(an 2) an 2 2(an 2) 2 1 1 = , a1 2 2

又 b1=

∴数列{bn}是首项为

1 1 ,公差为 的等差数列. 2 2 1 1 1 (2)解:由(1)知 bn= +(n-1)× = n. 2 2 2

∵bn= ∴an=

1 , an 2

1 2 +2= +2. n bn

题后反思 判断或证明一个数列为等差数列的常用方法: (1)定义法:an-an-1=d(d是常数,n≥2且n∈N*),数列{an}是等差 数列. (2)等差中项法:在数列{an}中,2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N*),数

列{an}是等差数列.

1, n 1, 跟踪训练 1-1:cn= 试判断数列{cn}是否为等差数列. 2n 5, n 2,

解:∵c2-c1=-1-1=-2,n≥2时, cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2, ∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一个常数,不符合等差数列的定义, ∴数列{cn}不是等差数列.

题型二 等差数列的通项公式【例2】 已知数列{an}为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式. (1)a3=5,a7=13; (2)前三项为a,2a-1,3-a.

名师导引:要求得通项公式,需要求哪几个量?(先确定数列的首项a1与公差d,然后代入an=a1+(n-1)d即可)

解:(1)法一

设首项为 a1,公差为 d,由题意,

a3 a1 2d 5, a1 1, 得 解得 d 2. a7 a1 6d 13,∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1, ∴通项公式是 an=2n-1.a7 a3 13 5 = =2, 7 3 7 3

法二

∵d=

∴an=a3+(n-3)d=5+(n-3)×2=2n-1,

∴通项公式是 an=2n-1.

(2)∵a,2a-1,3-a 是数列的前三项, 又 a2-a1=a3-a2=d, ∴(2a-1)-a=(3-a)-(2a-1), 解得 a=5 , 4 1 , 4

∴d=(2a-1)-a=a-1= ∴an=a1+(n-1)d=1 = n+1. 4

5 1 +(n-1)× 4 4

∴通项公式为 an=

1 n+1. 4

题后反思

在等差数列中,首项a1与公差d是两个最基本

的元素;若知道等差数列中的任意两项,都可利用方程组 的思想求出a1和d.但是,要注意公式的变形及整体求解, 以减少计算量.

跟踪训练2-1:(2013兰州一中高二期中)已知等差数列{an}中,a2=6, a5=15,若bn=a2n,则b15等于( )

(A)30 (B)45 (C)90 (D)186解析:设数列{an}的公差为 d,

a2 a1 d 6, a 3, 由 得 1 a5 a1 4d 15, d 3,∴an=3+3(n-1)=3n,bn=a2n=6n, ∴b15=6×15=90.故选 C.

题型三 等差中项的应用 【例3】 (12分)已知等差数列{an}满足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求数列{an}的 通项公式. 名师导引:怎样利用等差中项使已知等式用两个未知量表示?(利用等差中项 先求出a3或用a3和公差d的代数式表示a2和a4)

解:在等差数列{an}中,∵a2+a3+a4=18, ∴3a3=18,a3=6.3 分

a2 a4 12, a2 a4 11,

a2 11, a2 1, 解得 或 …………………………6 分 a4 11. a4 1

a2 11, 当 时,a1=16,d=-5.…………………………………………8 分 a4 1an=a1+(n-1)d=16+(n-1)·(-5)=-5n+21.……………………………9 分

a2 1, 当 时,a1=-4,d=5.…………………………………………11 分 a4 11.an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)·5=5n-9.…………………………………12 分

题后反思 若三个数成等差数列且和为 …… 此处隐藏：920字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……