专题 2018版高人一筹之高一数学特色专题训练(必修4) Word版 含解析

高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．

1．闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．

2．若f (x )＝ax 3＋bx 2

＋cx ＋d 有两个极值点，且x 1<x 2，

当a >0时，f (x )的图象如图，x 1为极大值点，x 2为极小值点，

当a <0时，f (x )图象如图，x 1为极小值点，x 2为极大值点．

3．若函数y ＝f (x )为偶函数，则f ′(x )为奇函数；

若函数y ＝f (x )为奇函数，则f ′(x )为偶函数．

4．y ＝e x

在(0,1)处的切线方程为y ＝x ＋1； y ＝ln x 在(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.

5．不等式恒成立问题

(1) a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；

(2)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min

6．不等式有解问题

(1)a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；a ≥f (x )有解⇔a ≥f (x )min ；

(2)a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max ；a ≤f (x )有解⇔a ≤f (x )max .

7．常用的不等关系

(1)e x

≥x ＋1(x ∈R ) (2)x －1≥ln x (x ＞0) (3)e x ＞ln x (x ＞0) (4)tan x ＞x ＞sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2

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(5)||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |

8．常见构造函数

(1)xf ′(x )＋f (x )联想[xf (x )]′；

(2)xf ′(x )－f (x )联想⎣⎢⎡⎦

⎥⎤f x x ′； (3)f ′(x )＋f (x )联想[]e x f x ′；

(4)f ′(x )－f (x )联想⎣⎢⎡⎦

⎥⎤f x

e x ′； (5)

f ′(x )±k 联想(f (x )±kx )′.

考点一 导数的几何意义及应用

例1、(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．

【答案】1

【变式探究】 (1)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.

【答案】1

【解析】基本法：由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，

∴f ′(1)＝3a ＋1，

又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又此切线过点(2,7)，

∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.

速解法：∵f (1)＝2＋a ，由(1，f (1))和(2,7)连线斜率k ＝5－a 1

＝5－a ，f ′(x )＝3ax 2＋1，∴5－a ＝3a ＋1，∴a ＝1.

(2)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.

【答案】8

【解析】基本法：令f (x )＝x ＋ln x ，求导得f ′(x )＝1＋1x ，f ′(1)＝2，又f (1)＝1，所以曲线y ＝x

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＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.设直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2

＋(a ＋2)x ＋1的切点为P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋a ＋2＝2，得a (2x 0＋1)＝0，

【方法技巧】

1．求曲线y ＝f (x )的切线方程的三种类型及方法

(1)已知切点P (x 0，y 0)，求y ＝f (x )过点P 的切线方程：可先求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程．

(2)已知切线的斜率k ，求y ＝f (x )的切线方程：

设切点P (x 0，y 0)，通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程．

(3)已知切线上一点(非切点)，求y ＝f (x )的切线方程：

设切点P (x 0，y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，再由点斜式或两点式写出方程．

2．利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数

已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．

【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．

【答案】y ＝－2x －1

【解析】令x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，

又f (－x )＝f (x )，

∴f (x )＝ln x －3x (x ＞0)，

则f ′(x )＝1x

－3(x ＞0)， ∴f ′(1)＝－2，∴y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.

(2)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

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【答案】D

【解析】y ′＝a －

1x ＋1，当x ＝0时，y ′＝a －1＝2， ∴a ＝3，故选D.

(3)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.

【答案】8

【解析】通解：令f (x )＝x ＋ln x ，求导得f ′(x )＝1＋1x

，f ′(1)＝2，又f (1)＝1，所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)

考点二 利用导数研究函数的单调性

例2、【2017课标3，文21】已知函数()f x =ln x +ax 2

+(2a +1)x ． （1）讨论()f x 的单调性；

（2）当a ﹤0时，证 …… 此处隐藏：3758字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……