1 上海市普陀区高三数学12月质量调研试题 文（上海普陀一模） 2013.12

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1. 若集合}02|{2>-=x x x A ，}2|1||{<+=x x B ，则=B A .

2. 设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e e a +=与21e e m b -=平行，则实数=m .

3.在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .

4. 在n x )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .

5.若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞

→n n d lim . 6. 函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f .

7.已知椭圆13

42

2=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于.

8. 数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 2

11=

++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a . 9.若函数x x x f 1)(+=，则不等式25)(2<≤x f 的解集为. 10．如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若异面直线A A 1与C B 1 所成的角的大小为21arctan ，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为. 11.在数列}{n a 中，21=a ，341+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前n 项和=n S .

12. 已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有种.

13.若函数2cos

1)(x x x f ⋅+=π，则=+++)100()2()1(f f f .

第10题

2

14.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0

),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有

且仅有两个解，则实数a 的取值范围是.

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且

只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答

案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.若)(x f 和)(x g 都是定义在R 上的函数，则“)(x f 与)(x g 同是奇函数或偶函数”是“)()(x g x f ⋅是偶函数”的………………………………………………………………（ ）

)(A 充分非必要条件. )(B 必要非充分条件.

)(C 充要条件. )(D 既非充分又非必要条件

16.若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（ ） )(A ||2||ab b a ≥+. )(B 2≥+b

a a

b . )(C 4)11)((≥++b

a b a . )(D 222)2(2b a b a +≥+. 17.将函数)(x f y =的图像向右平移

4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………

（ ）

)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .

18. 若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点，且OB OA OB OA i ⋅=⋅. 给出下列说法：

①||||||||21OA OA OA OA n ==== ；

②||i OA 的最小值一定是||OB ；

③点A 、i A 在一条直线上；

④向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影必相等.

O A B 第18题 第13题

3 其中正确的个数是…………………………………………………………………………（ ）

)(A 1个. )(B 2个. )(C 3个. )(D 4个.

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知点)0,2(P ，点Q 在曲线C x y 22

=上.

（1）若点Q 在第一象限内，且2||=PQ ，求点Q 的坐标；

（2）求||PQ 的最小值. 20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=

（1）求函数)(x f 的值域，并写出函数)(x f 的单调递增区间；

（2）若60π

θ<<，且3

4)(=θf ，计算θ2cos 的值. 21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8

分.

如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液

时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米,滴管

内液体忽略不计.

（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？

（2）在条件(1)下,设输液开始后x （单位：分钟），瓶内液面与进气管

的距离为h （单位：厘米），已知当0=x 时，13=h .试将h 表示为x 的

函数.（注3

310001mm cm =）

22.（本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3

小题满分6分.

已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈. 第21题

4 （1）证明数列{}

2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；

（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；

（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.

3.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.

定义在()0,+∞上的函数()f x ，如果对任意()0,x ∈+∞，恒有()()f kx kf x =（2k ≥，*k N ∈）成立，则称()f x 为k 阶缩放函数.

（1）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()121log f x x =+，求()

22

f 的值；

（2）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()22f x x x =-()y f x x =-在)8,1(上无零点；

（3）已知函数()f x 为k 阶缩放函数，且当(]1,x k ∈时，()f x 的取值范围是[)0,1，求()f x 在(10,n k +⎤⎦（n N ∈）上的取值范围.

2013学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷评分标准

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.)0,3(-；

2.1-；

3.4；

4.3；

5.1；

6.=-)(1x f

)0(21≤+x x （不标明定义域不给分）； 7.8； 8.

32；9.)2,21(10．32； 11.14--n n （*N n ∈）； 12.31； 13. 150； 14.2<a ；

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

5

题号 15 16 17 18 答案

A

D

C

B

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 【解】设),(y x Q （0,0>>y x ）,x y 22

=

（1）由已知条件得2)2(||2

2=+-=y x PQ …………………………2分

将x y 22

=代入上式，并变形得，022

=-x x ，解得0=x （舍去）或2=x ……………

4分

当2=x 时，2±=y

只有2,2==y x 满足条件，所以点Q 的坐标为)2,2(………………6分 （2）||PQ 22)2(y x +-=

其中x y 22=…………………………7分

422)2(||222+-=+-=x x x x PQ 3)1(2+-=x （0≥x ）…………10分

当1=x 时，3||min =

PQ ……………………………………12分

（不指出0≥x ，扣1分）

20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 【解】（1）)6

2sin(22sin 32cos )(π

+=+=x x x x f ………………2分

由于2)6

2sin(22≤+≤-π

x ，所以函数)(x f 的值域为]2,2[-………4分

由ππ

π

ππ

k x k 22

)6

222

+≤

+

≤+-

得ππ

ππ

k x k +≤≤+-

6

3

所以函数)(x f 的单调的增区间为]6

,3

[π

ππ

π+

-

k k ，Z k ∈………6分

（文科不写Z k ∈，不扣分；不写区间，扣1分）

（2）由（1）得，34)6

2sin(2)(=

+

=π

θθf ，即3

2

)62sin(=+πθ……………8分 其中

2

6

26

π

π

θπ

<

+

<得0)6

2cos(>+

π

θ………………10分

6 所以3

5)62cos(=+π

θ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+

=………………13分 6

21521322335+=⨯+⨯=………………14分 21. （本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.

【解】（1）设每分钟滴下k （*

N k ∈）滴，………………1分

则瓶内液体的体积πππ1563294221=⋅⋅+⋅⋅=V 3cm ………………3分 k 滴球状液体的体积75

340103432ππk mm k k V ==⋅⋅⋅=3cm ………………5分 所以15675

156⨯=ππk ，解得75=k ，故每分钟应滴下75滴。………………6分 （2）由（1）知，每分钟滴下π3

cm 药液………………7分 当134≤≤h 时，)13(42

h x -⋅⋅=ππ，即16

13x h -=，此时1440≤≤x ………10分 当41<≤h 时，)4(29422h x -⋅⋅+⋅⋅=πππ，即440x h -=，此时156144≤<x ………13分 综上可得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤-=156144,4401440,1613)(x x x x x h ………………14分 22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第

3

小题满分6分.

解：（1）将已知条件132n n n a a ++=⋅变形为()1122n n n n a a ++-=--……1分

由于123210a -=-=≠，则12

21

1-=--++n n n n a a （常数）……3分 即数列{}2n n a -是以1为首项，公比为1-的等比数列……4分

所以1)1(12--⋅=-n n n a 1)1(--=n ，即n n a 2=1)1(--+n （*N n ∈）。……5分

（2）假设在数列{}n a 中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为1k a -，

k a ，1k a +

7 （2k ≥，*k N ∈），由题意得，112+-+=k k k a a a ，

将1)1(2--+=k k k a ，211)1(2----+=k k k a ，k k k a )1(211-+=++代入上式得……7分

])1(2[])1(2[])1(2[21211k k k k k k -++-+=-++---………………8分

化简得，21)1(42---⋅=-k k ，即11)1(42---⋅=k k ，得4)2(1=--k ，解得3=k 所以，存在满足条件的连续三项为2a ，3a ，4a 成等比数列。……10分

（3）若1a ，r a ，s a 成等差数列，则12r s a a a =+

即11)1(23])1(2[2---++=-+s s r r ，变形得3)1()1(222111----⋅=---+s r r s ……11分

由于若r ，*s N ∈且1r s <<，下面对r 、s 进行讨论：

① 若r ，s 均为偶数，则0221<-+r s ，解得1+<r s ，与1r s <<矛盾，舍去；

② 若r 为奇数，s 为偶数，则02

21=-+r s ，解得1+=r s ； ③ 若r 为偶数，s 为奇数，则02

21<-+r s ，解得1+<r s ，与1r s <<矛盾，舍去； ④ 若r ，s 均为奇数，则02

21<-+r s ，解得1+<r s ，与1r s <<矛盾，舍去； (15)

分 综上①②③④可知，只有当r 为奇数，s 为偶数时，1a ，r a ，s a 成等差数列，此时满足条 件点列(),r s 落在直线1+=x y （其中x 为正奇数）上。……16分（不写出直线方程扣1分）

23. （本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.

解：（1）由]2,1(2∈得，2

12log 1)2(21

=+=f ………………2分 由题中条件得1212)2(2)22(=⨯

==f f ……………………4分 （2）当]2,2(1+∈i i x )2,1,0(=i 时，(]1,22i

x ∈，依题意可得： (

)2

22222222i i x x x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭。

8 ……6分

方程0)(=-x x f ⇔122i x x x +-=⇔0x =或2i x =，0与i 2均不属于]2,2(1+i i （)2,1,0(=i ）……8分

当(

12,2i i x +⎤∈⎦（)2,1,0(=i ）时，方程()0f x x -=无实数解。 注意到)2,2(]2,2(]2,2()8,1(322110 =，所以函数()y f x x =-在)8,1(上无零点。…10分

（3）当(1,j j x k k +⎤∈⎦，j Z ∈时，有(]1,j x

k k ∈，依题意可得：

()22j j x x x f x kf k f k f k k k ⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫

==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

当(]1,x k ∈时，()f x 的取值范围是[)0,1…12分

所以当(1,j j x k k +⎤∈⎦，j Z ∈时，()f x 的取值范围是)0,j k ⎡⎣。…14分 由于 ],(],(],(],(],0(010111k k k k k k k k k n n n n n --++=…16分 所以函数()f x 在(10,n k +⎤⎦（n N ∈）上的取值范围是：

),0[),0[),0[),0[),0[101n n n k k k k k =-- 。…18分