5.5 反常积分审敛法

第五节 反常积分的审敛法 Γ函数无穷限的反常积分 反常积分 无界函数的反常积分

第五章 五

一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、无穷限反常积分的审敛法定理1. 定理 若函数

F(x) = ∫ f (t) d ta

x

则反常积分 ∫证: 根据极限收敛准则知x→+∞

+∞ a

f (x) d x收敛.

lim F(x) = lim+∞ a

∫a f (t) d t x→+∞

x

存在 , 即反常积分 ∫

f (x) d x收敛 .

机动

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定理2 定理 . (比较审敛原理) 设 f (x) ∈C[a, + ∞) , 且对充

分大的x 有 0 ≤ f (x) ≤ g(x) , 则

∫a

+∞

g(x) dx收敛

∫a证: 不失一般性 ,

+∞

g(x) dx 发散

则对t > a 有

∫a f (x) dx ≤ ∫a g(x) dx故∫ f (x) dx 是 t 的单调递增有上界函数 , 因此a机动 目录 上页 下页 返回 结束

t

t

t

∫a f (x) dx = ∫a t →+∞lim极限存在 ,

t

+∞

f (x) dx

说明: 说明 已知

得下列比较审敛法.机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理3. 定理 (比较审敛法 1)

p >1, M f (x) ≤ p x p ≤ 1, N f (x) ≥ p x

机动

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例1. 判别反常积分 解: 由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论反常积分 思考题 提示: 提示 当 x≥1 时, 利用

的敛散性 .

的敛散性 .

可知原积分发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理4. 定理 (极限审敛法1) 满足 则有: 1) 当 2) 当x→+∞

lim x p f (x) = l

, 证: 当p >1时 根据极限定义 , 对取定的分大时, 必有 ,即

当x充

机动

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当 p ≤1时, 可取 ε > 0, 使l ε > 0, (l = +∞ 时用任意正

数N代替l ε ), 必有

即

注意: 注意

此极限的大小刻画了

机动

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例2. 判别反常积分 ∫1 解:

+∞

dx x 1+ x2 的敛散性

.

Q lim x 2 x→+∞

1 x 1+ x2

= lim

x→+∞

x3 2

1 =1 1 +1 2

根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 . 例3. 判别反常积分 ∫ 解:

x d x 的敛散性 . 2 1 1+ x 3 2 2 1 x x 2 Q lim x = lim 2 2 =1 x→+∞ x→+∞1+ x 1+ x

+∞

根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理5. 定理 若 f (x) ∈C[a , + ∞) , 且∫a

+∞

f(x) x收敛, d

则反常积分 ∫+∞

+∞

a

f (x) d x收敛.

证： (x) = 1 [ f (x) + f (x) ], 则 0 ≤ (x) ≤ f (x) 令 2

Q而

∫a

f(x) x收敛, ∴ d+∞ +∞

∫a

+∞

(x) d x 也收敛,+∞

f (x) = 2 (x) f (x)

∫a

f (x) d x = 2 ∫+∞ a

a

(x) d x ∫

a

f (x) d x

可见反常积分 ∫

f (x) d x 收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义. 定义 设反常积分 ∫

+∞

若∫

+∞ a +∞ a

a

f (x) d x 收敛,绝对收敛 ; 条件收敛 .

f (x) dx 收敛, 则称 f (x) dx 发散, 则称

若∫

例4. 判断反

常积分 的敛散性 . 解: 较审敛原理知 ∫+∞ a

根据比

e

a x

sin bx dx 收敛, 故由定理5知所

给积分收敛 (绝对收敛) .机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、无界函数反常积分的审敛法无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如 由定义b b

1 令 x = a + , 则有 tb

∫a f (x) d x = εlim ∫a+ε f (x) d x →0+

1 ∫a f (x) d x = εlim+ ∫b a →0

ε

1

+∞ 1 dt 1 dt f (a + ) 2 = ∫ 1 f (a + ) 2 t t t t b a

因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数 的反常积分中来 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

利用

收敛, q <1 1 ∫a (x a)q dx = 发散, q ≥1b

有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法. 定理6. 定理 (比较审敛法 2) 瑕点 , 使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .

M q < 1, 有 f (x) ≤ (x a)q

N 有 f (x) ≥ x a

定理3 目录

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定理7. 定理 (极限审敛法2)x→+∞

lim (x a)q f (x) = l

则有: 1) 当 2) 当 例5. 判别反常积分 ∫3 dx

ln x 解: 此处 x = 1为瑕点, 利用洛必达法则得

1

的敛散性.

根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .定理4 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 判定椭圆积分∫0 散性 .

1

dx (1 x2 )(1 k 2 x2 )

(k 2 < 1) 的敛

解: 此处 x =1为瑕点, 由于 1 1 2 (x 1) 2 2 2 (1 x )(1 k x )

= lim

1 (1+ x)(1 k 2 x2 )

x→ 1

=

1 2(1 k 2 )

根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .

定理4 目录

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类似定理5, 有下列结论:

若反常积分 ∫ f (x) d x (a为瑕点)收敛, 则反常积分a

b

∫a f (x) d x 收敛, 称为绝对收敛 .例7. 判别反常积分1 4

b

的敛散性 .1 4

解: 此处 x = 0为瑕点, 因 lim x ln x = 0,故对充分小

的x, 有 x ln x <1, 从而 1 ln x x4 ln x 1 < 1 = 1 x x4 x4 据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

x→0+