高等数学(侯风波)第7章课件PPT

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第七章第一节第二节

定积分的应用

定积分的几何应用定积分的物理应用与经济 应用举例

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第一节

定积分的几何应用

一、 定积分应用的微元法二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长

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第一节

定积分的几何应用

一、 定积分应用的微元法用定积分计算的量的特点：

(1) 所求量(设为 F )与一个给定区间 a, b 有关， F 且在该区间上具有可加性. 就是说， 是确定于 a, b 上 的整体量，当把 a, b 分成许多小区间时，整体量等于 各部分量之和，即 F Fi .(2) 所求量 F 在区间 a, b 上的分布是不均匀的， 也就是说， F 的值与区间 a, b 的长不成正比.(否则的 话， F 使用初等方法即可求得， 而勿需用积分方法了) .i 1 n

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用定积分概念解决实际问题的四个步骤：第一步：将所求量 F 分为部分量之和，即:F ΔFi ;i 1 n

第二步：求出每个部分量的近似值， ΔFi ≈ f ( i )Δxi (i 1,2, , n);n i 1

第三步：写出整体量 F 的近似值，F ΔFi ≈ f ( i )Δxi ;i 1

n

第四步：取 max{ Δxi } 0 时的 f ( i )Δxi 极限，则得i 1

n

F lim f ( i )Δxi f ( x)dx .b

n

0

i 1

a

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观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表 达式的形式就是在这一步被确定的， 这只要把近似式 f ( i )Δxi 中的 变量记号改变一下即可( i 换为 x ; xi 换为 dx ).

而第三、 第四两步可以合并成一步： 在区间 a, b 上无限累加， 即在 a, b 上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性， 这是 F 能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用 的微元法.

定积分应用的微元法：(一) 在区间 a, b 上任取一个微小区间 x, x dx ,然后写出 在这个小区间上的部分量ΔF 的近似值，记为dF f ( x)dx (称为 F 的微元);

(二) 将微元dF 在 a, b 上积分(无限累加) ,即得

F

b

a

f ( x)dx.

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微元法中微元的两点说明：(1) f ( x )dx 作为ΔF 的近似值表达式，应该足够准确，确切 的 说 ， 就 是 要 求 其 差 是 关 于Δx 的 高 阶 无 穷 小 . 即 ΔF f ( x ) dx o ( Δx ) . 这 样 我 们 就 知 道 了 ， 称 作 微 元 的 量 f ( x )dx ,实际上是所求量的微分 dF ;

(2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问 题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 x, x dx 上， 以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路(局部线 性化) 写出局部上所求量的近似值，即为微元 ， dF f ( x)dx .

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二、用定积分求平面图形的面积1. 直角坐标系下的面积计

算用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.(1) 曲线 y f ( x)( f ( x) 0), x a, x b 及 Ox 轴所围 图形，如下页左图，面积微元dA f ( x)dx ,面积A f ( x ) dx .a b

(2) 由上、 下两条曲线 y f ( x), y g ( x)( f ( x) g ( x)) 及 x a, x b 所围成的图形，如下页右图，面积微元dA [ f ( x) g ( x)]dx, ,面积 A [ f ( x) g ( x)]dx .a b

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y

y f ( x)

y y f ( x)

OO a x x dx b x

a

x dx b x y g ( x) x

(3)由左右两条曲线 x ( y ), x ( y ) 及 y c, y d 所 围成图形(图见下页)面积微元(注意，这时就应取横条矩 形 dA ,即取 y 为积分变量) dA [ ( y ) ( y )]dy ,面积

A [ ( y ) ( y )]dy .c

d

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y d

y

1x ( y)

(1,1)

y dyx ψ( y )

y

Oc例1

x

O

x x dx

x

求两条抛物线 y 2 x, y x 2 所围成的图形的面积 .

解(1)画出图形简图(如右上图)并求出曲线交 点以确定积分区间：

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y x2 , 解方程组 2 得交点(0,0)及(1,1). y x,

(2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 dA 均可，习惯上取竖条，即取 x 为积分变量，x 变化范围为[0, 1],于是 2

dA ( x x )dx,

(3)将 A 表示成定积分，并计算 2 1 x x3 A ( x x )dx 0 3 3 1 2 3 2 1

0

1 3.

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例2 求 y 2 2 x 及 y x 4 所围成图形面积. 解 作图(如下图) y

y+dy

4 y

B

O -2

x A

求出交点坐标为 A(2, 2), B(8,4) . 观察图得知，宜取 y 为积分变量， y 变化范围为[–2,4](考虑一下，若 取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处) , 1 于是得 dA [( y 4) y 2 ]dy, 2 4 4 1 2 1 3 1 2 A [( y 4) y ]dy y 4 y y 18. 2 2 6 2 2

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2. 极坐标下的面积计算曲边扇形：是指由曲线 r r ( ) 及两条射线 , 所围 成的图形(如右下图).取 为积分变量， 其变化范围为[ , ] , 在微小区间 [ , d ] 上“以常代变”,即以小扇形面积 dA 作为小曲边扇形面积的近似 值，于是得面积微元为

1 2 dA r ( )d , 2 将 dA 在[ , ] 上积分,便得曲边扇形面积为

r r (θ)d …… 此处隐藏：1500字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……