2019高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角

2019

1 第2讲 三角恒等变换与解三角形

[考情考向分析] 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．

热点一 三角恒等变换

例1 (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，则cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3－2α＝________. 答案 －725

解析 ∵cos ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6－α＝－725. (2)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作角α，角α＋π4

的终边经过点P (－2,1)． ①求cos α的值；

②求cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫5π6－2α的值． 解 ①由于角α＋π4

的终边经过点P (－2,1)， 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－255，sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55， ∴cos α＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－1010. ②sin α＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝31010，

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2 则sin 2α＝2sin αcos α＝－35

， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－45

， cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝43－310. 思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．

(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 跟踪演练1 (1)已知cos ⎝

⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝________. 答案 23－4

解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋7π6， ∴－sin α＝－3sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π6， ∴sin α＝3sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos αsin π6 ＝332sin α＋32

cos α， ∴tan α＝32－33

， 又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tan π41＋tan π3tan π4

＝3－11＋3

＝2－3， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝tan π12＋tan α1－tan π12

tan α ＝()2－3＋3

2－331－()2－3×32－33＝23－4.

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3 (2)(2018·江苏如东中学等五校联考)已知α∈⎝

⎛⎭⎪⎫π3，5π6，且cos ⎝

⎛⎭⎪⎫α－π3＝35，则sin α的值是________．

答案 4＋3310 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3

，5π6，∴α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 给合同角三角函数基本关系式有：

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝1－cos 2⎝

⎛⎭⎪⎫α－π3＝45， 则sin α＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α－π3＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3cos π3＋cos ⎝

⎛⎭⎪⎫α－π3sin π3 ＝45×12＋35×32＝4＋3310

. 热点二 正弦定理、余弦定理

例2 (2018·江苏泰州中学调研)如图，在圆内接△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b

，c ，满足a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .

(1)求B 的大小；

(2)若点D 是劣弧AC 上一点，AB ＝3，BC ＝2，AD ＝1，求四边形ABCD 的面积．

解 (1)方法一 设外接圆的半径为R ，则a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入得2R sin A cos C ＋2R sin C cos A ＝2×2R sin B cos B ，

即sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，

所以sin B ＝2sin B cos B .

所以sin B ≠0，所以cos B ＝12

. 又B 是三角形的内角，

所以B ＝π3

. 方法二 根据余弦定理，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 2

2bc

＝2b ·cos B ，

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4 化简得cos B ＝12

. 因为0<B <π，所以B ＝π3

. (2)在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2

－2AB ·BC cos∠ABC

＝9＋4－2×3×2×12

＝7， 所以AC ＝7.

因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠ADC ＝2π3

. 在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos∠ADC ， 代入得7＝1＋CD 2－2·CD ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12， 所以CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2或CD ＝－3(舍)．

所以S ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD

＝12AB ·BC sin∠ABC ＋12

AD ·CD sin∠ADC ＝12×3×2×32＋12×1×2×32＝2 3. 思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．

跟踪演练2 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝23sin C 3a

. (1)求角B 的大小；

(2)已知a sin C sin A

＝4，△ABC 的面积为63，求边长b 的值． 解 (1)由已知得b cos A ＋a cos B ＝233

b sin C ， 由正弦定理得sin B cos A ＋cos B sin A ＝233

sin B sin C ， ∴sin(A ＋B )＝233

sin B sin C ， 又在△ABC 中，sin(A ＋B )＝sin C ≠0，

∴sin B ＝32，∵0<B <π2，∴B ＝π3

. (2)由已知及正弦定理得c ＝4，

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