2019学年高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式课后练习北师大版选修

1 2019学年高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.

2 排序不等式课

后练习 北师大版选修4-5

一、选择题

1．设a ，b ∈R ＋，P ＝a 3＋b 3，Q ＝a 2b ＋ab 2

，则P 与Q 间的大小关系是( )

A ．P >Q

B ．P ≥Q

C ．P <Q

D ．P ≤Q 答案： B

2．(1＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋161·…·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋13n －2的取值范围是( ) A ．(21，＋∞)

B ．(61，＋∞)

C ．(4，＋∞)

D ．(3n －2，＋∞) 答案： C 3．设x ，y ，z ∈R ＋，则z 2－x 2x ＋y ＋x 2－y 2y ＋z ＋y 2－z 2

z ＋x

的最小值为( ) A ．0

B ．1

C ．4

D ．9 答案： A

4．已知a 1，a 2，a 3为正整数，则a 1＋a 24＋a 39

的最大值为( ) A ．3

B ．13

C ．56

D ．4936 答案： D

二、填空题

5．设正实数a 1，a 2，…，a n 的任一排列为a 1′，a 2′，…，a n ′，则

a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a n a n ′

的最小值为________.

答案： n

6．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单位分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元． 答案： 19,25

三、解答题

7．设c 1，c 2，…，c n 为正数a 1，a 2，…，a n 的某一排列，

2 求证：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n

c n

≥n .

证明： 不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则 1a 1≥1

a 2≥…≥1

a n

.

∵1c 1，1

c 2，…，1

c n 是1a 1，1a 2，…，1a n

的一个排列，故由排序原理： 反序和≤乱序和得

a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1

a n

≤a 1·1c 1＋a 2·1

c 2

＋…

＋a n ·1c n ，即a 1c 1＋a 2c 2＋…a n

c n

≥n .

8．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：

1

a 3＋

b 3＋ab

c ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc ≤1abc .

证明： 不妨设a ≥b ≥c >0，则a 2≥b 2， ∴a 3＋b 3＝a 2·a ＋b 2·b ≥a 2·b ＋b 2·a .

同理b 3＋c 3≥bc (b ＋c )，c 3＋a 3≥ac (c ＋a )， 所以1a 3＋b 3＋abc ＋1

b 3＋

c 3＋abc ＋1

c 3＋a 3＋abc

≤1ab a ＋b ＋abc ＋1bc b ＋c ＋abc ＋1ca c ＋a ＋abc ＝1

a ＋

b ＋

c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ＝1abc .

9．设a 1，a 2，…，a n 为1,2，…，n 的一个排列，求证： 12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1

a n

.

证明： 设b 1，b 2，…，b n －1为a 1，a 2，…，a n －1的一个排列， 且b 1<b 2<…<b n －1，

c 1，c 2，…，c n －1为a 2，a 3，…，a n 的一个排列， 且c 1<c 2<…<c n －1，

于是1

c 1>1c 2>…>1c n －1

，

由排序不等式：乱序和≥反序和，得 a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a

n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1 ①

3 由于b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1， c 1≤2，c 3≤3，…，c n －1≤n ， 于是b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1

c n －1

≥12＋23＋…＋n －1n ，

即12＋23＋…＋n －1n

≤b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1

②

综合①②，得证．