高考文科数学圆锥曲线专题复习

经典、全面贴近高考

高三文科数学专题复习之圆锥曲线

抛物线：

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（一）椭圆

x2y2

1. 椭圆的性质：由椭圆方程2 2 1(a b 0)

ab

（1）范围： a x a，-b x a，椭圆落在x a，y b组成的矩形中。

（2）对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，

简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。 （3 椭圆共有四个顶点：A( a,0),A2(a,0)，B(0, b),B2(0,b)。加两焦点F1( c,0),F2(c,0)共有六个特殊点。A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴。长分别为2a,2b。a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。e

bc

e ()2。0 e 1。

aa

椭圆形状与e的关系：e 0,c 0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e 0时的特例。e 1,c a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为是椭圆在e 1时的特例。 2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。

3. 椭圆的准线方程

a2x2y2a2

对于2 2 1，左准线l1:x ；右准线l2:x

ccaba2y2x2a2

对于2 2 1，下准线l1:y ；上准线l2:y

ccab

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a2a2 c2b2

焦点到准线的距离p （焦参数） c

ccc

（二）双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性

x2y2

由标准方程2 2 1，从横的方向来看，直线x＝－a,x＝a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x

ab

的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不

封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。 （2）顶点

顶点：A1(a,0),A2 a,0 ，特殊点：B1(0,b),B2 0, b

实轴：A1A2长为2a,a叫做实半轴长。虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长。 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。 （3）渐近线

x2y2bxy

过双曲线2 2 1的渐近线y x（ 0）

abaab

（4）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比e

2cc

范围：e>1 2aa

b

双曲线形状与e的关系：k

a

c2 a2

ac22

1 e 1，e越大，即渐近线的斜率的绝对2a

值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。 2. 等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y x；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率e 3. 共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为y

2

2

2。

bkb

x x(k 0)，那么此双曲线方程就一定是：

kaa

xyx2y2

。 或写成 1(k 0)2222

(ka)(kb)ab

4. 共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。

5. 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e

c

(c a 0)的点的轨迹是a

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双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e是双曲线的离心率。 6. 双曲线的准线方程：

x2y2a2

对于2 2 1来说，相对于左焦点F1( c,0)对应着左准线l1:x ，相对于右焦点F2(c,0)对

caba2

应着右准线l2:x ；

c

b2

焦点到准线的距离p （也叫焦参数）。

c

y2x2a2

对于2 2 1来说，相对于下焦点F1(0, c)对应着下准线l1:y ；相对于上焦点F2(0,c)对

caba2

应着上准线l2:y 。

c

（三）抛物线的几何性质 （1）范围

因为p＞0，由方程y 2px p 0 可知，这条抛物线上的点M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所

2

以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 （2）对称性

以－y代y，方程y2 2px p 0 不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 （3）顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y2 2px p 0 中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线y2 2px p 0 的顶点就是坐标原点。

（4）离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e＝1。

【典型例题】

例1. （1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8； （2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且经过点（2，－3）；

（3）中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的

距离是5。

分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2＝b2＋c2及已知条件

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