多元函数条件极值的解法探讨

秒杀一切多元函数

2009年第3期第8卷(总第42期)

安徽电子信息职业技术学院学报

JOURNALOFANHUIVOCATIONALCOLLEGEOFELECTRONICS＆INFORMATIONTECHNOLOGY

No.32009

GeneralNo.42Vol.8

[文章编号]1671－802X(2009)03－0109－02

多元函数条件极值的解法探讨

张秀芳

（安徽省第一轻工业学校，安徽蚌埠

233010）

［摘要］通常我们在求函数条件极值问题时，原则上将条件极值问题转化成无条件极值问题来进行求解，本文介

绍了利用拉格朗日乘数法和方向导数法来解决条件极值问题，并将这两种方法进行了比较。

［关键词］条件函数；条件极值；拉格朗日乘数法；方向导数；梯度［中图分类号］O171.1［文献标识码］B

求函数在一个或多个条件函数限制下的极值，称为函数的条件极值。函数的条件极值问题有着重要的实用价值，在求函数极值问题时原则上将条件极值问题转化为无条件极值问题来进行求解。求解这类问题有几种方法，这里只介绍最为常用的拉格朗日乘数法和与之相似的方向导数法，并将它们进行了比较。

一、拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是在求多元函数条件极值中最常用的一种方法，下面具体地来看看这种方法。

求函数f（x1，x2…，xn）在条件函数φ（x2，…xn）=0（k=1，2，kx1，…，m，m＜n）限制下的极值。

若f（x1，x2，…xn）及φk（x1，x2，…xn）=0（k=1，2…，（φ的秩为r=m续偏导数，且Jacobi矩阵鄣12n（φ≠0）式鄣，12n拉格朗日函数

L（x1，x2，…，xn，λ1，…λm）=f（x1，x2，…，x）λkφ（x2，…xn+Σkx1，k=1m

Σ

ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣLx=2（1-μ）x-λ=0Ly=2（1-μ）y-λ=0Lz=2（1-4μ）z-λ=0x+y+z=0

x2+y2+4z2-1=0

得到（x，y，z）的解分别为（1，-1，0），（-1，

姨姨姨1，0），（-，（-f在

然后解方程组

Σ

Σ鄣L=0（i1，2，…n）ΣΣ1Σ（1）ΣΣ鄣L=0（k=1，2，…m）ΣΣ鄣λ从（1）中求出未知数M（x10，x20，…，xn0，λ10，λ20，…λm000

P（x10，x2，…，xn）。

例：求平面x+y+z=0与椭球面x2+y2+4z2+1积。

解：椭圆的面积为πab，其中a，b即求f（x，+y+z）=x2，+y2+z2最大距离与最小距离。于是，

x+y+z=0

下的最大值与最小值。

x2+y2+4z2=1

做Lagrange函数L（x，y，x，λ，μ）=x2+y2+z2-λ（x+y+z）-μ（x2+y2+4z2-1）

得到相应的方程组

Σ

＊［收稿日期］2009－02－24［作者简介］张秀芳（1983-），安徽青阳人，本科，