第二章 实数复习

一、算术平方根、平方根、立方根 1、基本概念

算术平方根：如果一个正数x的平方等于a, 那么这个正数x叫做a的算术平方根；特别的， 0的算术平方根是0; 平方根：如果一个数x的平方等于a,那么这 个数x叫做a的平方根；

立方根：如果一个数x的立方等于a,那么这 个数x叫做a的立方根。

一、算术平方根、平方根、立方根 2、关系式表示2 x a x 0) 算术平方根：若 ( 则x叫a的算术平方根

即 x a

平方根：若 x a2

则x叫a的平方根即 x

a

立方根：若 x3 a

则x叫a的立方根即 x 3 a

3

a

注意:这个根指数3是绝对不可省 的.

解下列方程： 2 3 1 27 2 1. 9( y 3) 2. (x ) 125 0 3 4 1 2解: ( y 3) 2

36

解:

1 y 3 3619 17 y 或y 6 6

27 ( x )3 125 3 2 3 125 (x ) 3 27x 2 3 125 3 27

1 y 3 6

x

x 1

2 5 3 3

当方程中出现平方时，若有解，一般都 有两个解；当方程中出现立方时，一般 都有一个解

一、算术平方根、平方根、立方根 3、性质及区别

算术平方根：算术平方根双重非负性；算术 平方根等于本身的数

平方根：非负数有算术平方根；正数的两个 平方根互为相反数；平方根等于本身的数 立方根：任何数都有立方根；立方根等于本 身的数

算术平方根、平方根、立方根联系和区别算术平方根 表示方法 平方根 立方根3

a的取值性 质正数 0 负数 开

a≥0

a0

≠

a a≥ 00 没有

a

a 是任何数0 负数(一个)

正数(一个) 互为相反数(两个) 正数(一个)

没有

方等于本身

0,1

求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方 0 0,1,-1

一、算术平方根、平方根、立方根 4、乘方与开方之间的关系算术平方根 开平方

乘 方

互为逆运算

开 方

平方根 立方根负的平方根

开立方

例：已知 3x 4 y 6 y 9 0, 求 xy的值2

二、实数1、无理数

无理数定义 无理数常见的三种形式

(1)和 相关的(2)构造型的无理数；如0.01001000100001 ; 3 开方开不尽的数

区分无理数和无限小数

二、实数2、实数

实数定义 实数分类

整数 分数

有理数 实 数

正整数 0 负整数 正分数 负分数

自然数

无理数

正无理数

负无理数

二、实数 2、实数 实数和数轴上点的对应关系

和实数相关的概念。例如： 的倒数是-

1

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数 轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一 一对应的。

实数 a

-2

-1

0

1

2

二、实数3、实数的运算

、化简

a a=2

a

a a 0

0

a 0 a 0

(a 0)

a

2

a

3

a a3

a a a为任何数 333

3

a为任何数 a a a为任何数 3

已知a 0, 求 a a 的值3 2

已知m n, 求(n m) (m n) 的值3 2

3

二、实数3、实数的运算、化简

含有根号的数化简的两个要求： 被开方数不含有开得尽方的因数；

被开方数不含有分母，最后结果中分母不 能是无理数

化简

3 32, , 2 8

1 2

例1:

8是

64

的平方根±8

64的平方根是64 =8

9的平方根是 3

3 4 16 的立方根是

大于 17小于 11 的所有整数为-4,-3,-2,-1,0,1,2,3

x取何值时，下列各式有意义 例2:

(1)

4 x

(2)

4 x

2

(3)

1 3 2x 1

例3:

如果要求误差小于1 , 估算 50的大小 比较大小： 23和5; 10和 53

例4:1.已知等腰三角形两边长a,b满足

a 2b a b 9 0求此等腰三角形的周长

1 2x 1 1 2x 2.已知y= 2求2(x+y)的平方根