9-4 动态线性电路的拉氏变换求解1) 变换方程法 ①列出电路方程(微分方程); ②对微分方程取拉氏变换，初始条件包含在变换中；

③求解 S 域的代数方程，得 U ( S ) 或 I ( S ) ;④求拉氏逆变换。

例：U 解:

e t 1(t ) 求 S

iL (t )iL (o ) 0

d L f (t ) SF ( s) f (0 ) dt

diL L RiL e t dt

1 LSI L ( S ) LiL (o ) RI L ( S ) S

L

diL dt

SLI L ( S ) LiL (o )

1 1 I L (S ) R LS S 1 1 1 I L (S ) ( )( ) L S R S L

iLe t

I L (S )1 S

R

由展开定理：

K1 K2 I L (S ) R S S L

Us

iL(t)

L

I L (S )

1 1 1 ( )( ) L S R S LS R L

K1 K2 I L (S ) R S S LK1 K 2

R K1 ( S ) I L ( S ) L

1 1 1 L R L R L

K2 (S ) I L (S )

S

1 1 1 L R R L LR

1 1 1 I L (S ) [ ] R R L S S L Rt 1 iL (t ) [e t e L ] 1(t ) R L

Us

iL(t)

L

2)运算电路法 ①电阻元件

时域电路转换为对应的运算电路

u(t ) i(t ) R U (S ) RI (S )

i

R

I(s)

R

u运算阻抗:

U(s)

R

②电容元件

duC (t ) i (t ) C dt

iC CuC (o )

uC1 SC

I ( S ) SCU C ( S ) CuC (o )1 1 UC (S ) I ( s) uC (0 ) SC S1 运算阻抗: SCU C (0 ) S

I C (S )

UC (S )等效电路

时域电容元件转换为频域电容元件加附加电压源(初始条件)。

③电感元件

diL (t ) U L (t ) L dt

iL (o )

iL

L

uLI L ( S ) SL

U L ( s) LSI L ( s) LiL (o )运算阻抗: SL

LiL (0 )

U L (S )

时域电感元件转换为频域电感元件加附加电压源(初始条件)! ④受控源电路

iRR

r iR

I (S )R

r I (S )

⑤ 互感电路

di1 di2 u1 L1 M dt dt

di2 di1 u2 L2 M dt dt

i1 (0 ), i2 (0 )

U1 ( s ) L1SI1 ( s ) L1i1 (o ) MSI 2 ( s ) Mi2 (o ) U 2 ( s ) L2 SI 2 ( s) L2i2 (o ) MSI 2 ( s) Mi1 (o )I1 ( S )

SM

I 2 (S )

i1

M

i2L2

SL1U1 ( S )

u1 L1

u2

Mi2 (0 )L1i1 (0 )

U 2 (S ) Mi1 (0 ) L2i2 (0 )

SL2

用运算电路解过渡过程问题: 1). 画运算电路; 2). 激励电源拉氏变换;

I (S ) 0 U ( S ) 0

3). 利用KVL和KCL计算电路响应;4). 利用分解定理解反变换.

运算电路仍遵守KCL和KVL规律: 直流电路计算的规律均可应用于运算电路！

1 U 例1: S (t ) 1(t ), R 1 , C 1F ,U C (o ) V 2 求 iC (t ) 和 U C (t ) 。

R

Us

C

uCiC(t)

解：运算电路如图U C (o ) U S ( s) S I (S ) 1 R SC

1 U S ( s) SR

Us(S)

1

SCuC(0-)

Uc(S)IC (S )

1 1 1 I ( S ) S 2S 2 1 S 1 1 S

s

1 t iC (t ) e 1(t ) 2

U C (o ) 1 UC (S ) I (S ) SC S

R

Us(S)

1

1 1 1 1 2 2 1 2 U C (S ) S ( S 1) S S ( S 1)

SCuC(0-)

Uc(S)IC (S )

s

1 t U C (t ) [1 e ] 1(t ) 2注意：电容电压应包含初始值部分！

例2 U S (t ) (t ),

iL (0 ) 0 ,求:

R

uL (t ), iL (t ).解：运算电路如图 (冲击激励情况)

(t )

L

uLiL

U S ( s) 1 1 1 I (S ) R SL R SL L S R L1

R

1 iL (t ) L

Rt e L

SL

1(t )

UL(S)I L (S )

SL R U L ( s) I ( s) SL 1 R SL SL R

R 1 U L (S ) 1 , L S R L

R Rt U L (t ) (t ) e L 1(t ) LR 1

SL

UL(S)I L (S )

U 例3: S 10V , R 1 C1 C2 0.1F , U C 2 (o ) 2V求K闭合后的 U C1 (t ) 及 iR (t ). 解：运算电路 (跳变情况)

iRUs

R

KuC1

C1

C2

uC2

U C1 (o ) U S 由节点电位法的齐尔曼定理1 10 C1U C1 (o ) C2U C 2 (o ) IR(S) R U C1 ( s ) R S 1 SC1 SC2 R 1 10 SC1 S 10 50

6s 50 S s 0.2S 1 s 5 s( s 5)

1.2

6

1 SC2 UC2 (0 ) S

UC1(S)

U C1 (0 ) S

6s 50 10 4 U C1 ( s ) s( s 5) S S 5

U C1 (t ) [10 4e 5t ] 1(t )

10 U C1 ( S ) 10 6S 50 4 S I R (S ) , R S S ( S 5) S 5

iR (t ) 4e 5t1(t)

讨论：跳变情况下，用运算电路计算无需求 t 0 情况.

IR(S) R10 S1 SC1U C1 (0 ) S

1 SC 2

U C1 ( S )

UC2 (0 ) S

6s 50 U C1 ( s ) s ( s 5)

4 I R (S ) S 5

f (0 ) lim sF ( s )s

f ( ) lim sF ( s )s 0

欲求 t 0 值，可由初值定理计算 (无需反变换).

4s iR (0 ) lim s I R ( s) 4A s s 5

6S 50 U C1 (0 ) lim S U C1 ( S ) lim 6V s s S 5

欲求稳态值(终值定理):

iRUs

R

KuC1

U C1 ( ) lim S U C1 ( S ) 10Vs 0

C1

C2

uC2

iR ( ) lim S I R ( s ) 0 As 0

例4:如图电路，K打开已久，求K闭合后的电流 i1 (t ) 。 已知 U 1V , R 1 , L 1H , C 1F。 s 解：初始值 iL (0 ) 0, uC (0 ) U S 运算电路如图，用回路电流法解

R

L

KR

Us

i1 C

U C (0 ) 1 1 I1 ( s )[ R sL ] I 2 ( s ) U S ( s ) sc sc S 1 1 U C (0 ) I ( s )[ R ] I1 ( s ) 代入数据 2 SC sc S

R

I1(S)

1 1 ( s s 1) I1 ( S ) s I 2 ( s ) 0 ( 1 1) I ( s ) 1 I ( s ) 1 2 1 s s S

SL

I2(S)R

U S (S )

1 SC U C (0 ) S