大学物理 光学

14§14-7 单缝和圆孔的夫琅禾费衍射 单缝夫琅禾费 夫琅禾费衍射 一、单缝夫琅禾费衍射 1.衍射装置及花样 1.衍射装置及花样 单缝 衍射角 透镜 衍射屏

f

I

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衍射图样衍射条纹与狭缝平行。 (1) 衍射条纹与狭缝平行。 (2)中心条纹很亮，两侧明条纹对称分布，亮 (2)中心条纹很亮，两侧明条纹对称分布， 度减弱。 度减弱。 中央亮斑的宽度为其他亮斑的两倍。 (3)中央亮斑的宽度为其他亮斑的两倍。

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2.菲涅耳半波带法 菲涅耳半波带法 衍射角 A

fp o

B 缝宽AB = a 缝宽

δ 称为衍射角 称为衍射角

A→P 和 B→P的光程差 的光程差

= 0,δ = 0 ——

δ = a sin 中央明纹(中心) 中央明纹(中心)

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当asin =λ时，可将缝分为两个半波带 半波带 半波带

AA 1

p

o相邻半波带的相对应光 线的光程差均是λ/2

B

λ/ 2

相邻半波带的相对应点光线的光程差均是λ/2, , 两个“半波带” 处干涉相消形成暗纹。 两个“半波带”发的光在 P处干涉相消形成暗纹。 处干涉相消形成暗纹 太原理工大学物理系

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个半波带. 当asin =3λ/2时，可将缝分为 个半波带. 时 可将缝分为3个半波带

Aa

AA 1 A C 2

θλ/ 2

po

B

B

相邻半波带的相对应点光线的光程差均是 λ/2,两个“半波带”发的光在 P处干涉相消形成 两个“半波带” 处干涉相消形成 两个 暗纹。 形成明纹。 暗纹。第3个“半波带”发的光在 P形成明纹。 个 半波带” 形成明纹 太原理工大学物理系

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一般情况下，可将缝分为 个半波带 个半波带， 一般情况下，可将缝分为n个半波带，当n为偶数 为偶数 点为暗纹， 为奇数时， 点为明纹 点为明纹。 时，p点为暗纹，当n为奇数时，p点为明纹。 点为暗纹 为奇数时

a sin = 0

中央明纹中心

a sin = ±2k

λ2

第k级暗纹中心

2k个半波带个半波带

a sin = ± (2k + 1)a sin ≠ ± k

λ2

第k级明纹中心 级

2k + 1

λ

介于明 之间) 2 (介于明暗之间)

( k = 1, 2 , 3 , L )

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3.条纹宽度 3.条纹宽度 1)中央明纹宽度：k=-1级暗纹和 中央明纹宽度： 级暗纹和k=1级暗纹之间 级暗纹之间 中央明纹宽度 级暗纹和 的距离 k=1级暗纹 级暗纹

a sin 1 = λλa

1 ≈ sin 1 =x

λ

a

中央明纹线宽度 中央明纹线宽度

2 x1 = 2 ftg 1 ≈ 2 f半角宽

1 ≈ sin 1 =λa

λa

af

1 x1 1 x1

I

角宽度 2 1 = 2

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(2)其他亮纹的宽度 (2)其他亮纹的宽度

xfO

较小时， 当 较小时，

tan ≈ sin

屏上暗纹中心的位置： 屏上暗纹中心的位置：

fλ x = f tan ≈ f sin = ± k a其他明纹的线宽度

k = 1,2...

其他亮纹的宽度是中央亮纹宽度的一半。 其他亮纹的宽度是中央亮纹宽度的一半。 太原理工大学物理系

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讨论：(1)波长变化对条纹的影响 讨论：(1)波长变化对条纹的影响 第一暗纹的衍射角 1 = sin 1

λa

a一定，λ越大， 1越大，衍射效应越明显. 一定， 越大， 越大，衍射效应越明显. 一定 (2)缝宽变化对条纹的影响 (2)缝宽变化对条纹的影响

λ a增大， 1减小， → 0, 1 → 0 增λ一定a

光直线传播

a减小， 1增大 减

衍射效果越好

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单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？ 单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？

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入射波长变化， 入射波长变化，衍射效应如何变化 ?

越大， 越大，衍射效应越明显. λ 越大， 1越大，衍射效应越明显. 太原理工大学物理系

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二、用振幅矢量推导光强公式 1.振幅矢量法 1.振幅矢量法 将缝AB的面积 等分成N(很大)个等宽的窄 将缝 的面积S等分成 (很大) 的面积 等分成 每个窄带宽度a/N. 带,每个窄带宽度 每个窄带发的子波在 点 每个窄带发的子波在P点 子波 振幅近似相等， 振幅近似相等，设为 A1,相 邻窄带所发子波在P点引起的 邻窄带所发子波在 点引起的 振动的 光程差 (a/N)sin δ = (

A

B

asin δ 相位差 = 2π = 2π Nλ λ

δ

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屏上P点的合振幅 屏上 点的合振幅 AP就是各子波的振幅矢量和 的模，这是多个同方向、同频率，同振幅、 的模，这是多个同方向、同频率，同振幅、初相 依次差一个恒量的简谐振动的合成。 依次差一个恒量的简谐振动的合成。 对于屏中心o点 = 0,Δφ =0 对于屏中心o ,

A

1

…

AA0 = N A

0

中央明纹的中心

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对于屏上其它点 对于屏上其它点P,由 屏上其它点 于屏上位置不同 不同， 于屏上位置不同，对应的 衍射角就不同， 衍射角就不同，Ap的大小 也不同. 也不同.

A

p

π a sin 令 u= λ可以求出

A

i

sin u A =A up 0

过程略2

p点的光强 点的光强

sin u I =I u p 0

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2.衍射条纹的特点 衍射条纹的特点 1)中央明纹 位置： 位置：在 = 0处 处 2)暗纹 ) 位置： 位置：在u≠0,sinu = 0处 ， 处 条件: 条件:

sin u I =I u p 0

2

光强： 光强：中央明纹中心的光强最大 I = I0

a sin = ± kλ

sin = ± (λ/a), ±2(λ/a), ±3(λ/a),… sin 坐标上暗纹是等间距的 暗纹是等间距的。 在sin 坐标上暗纹是等间距的。 太原理工大学物理系

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3)其他明纹 )

d sin u ( ) = 0 求得 位置： 位置：由 du u2

2

得 tgu = u,由作图法可得次极大位置 ，y y1 = tgu y2 = u

-2π

-

π

o

π

·2π

·u

·-2.46π

·-1.43π +1.43π +2.46π

u = ±1.43π, 2.46π, 3.47π,… ± ±相应 a sin = ±1.43λ , ± 2.46λ , ± 3.47λ ,… 太原理工大学物理系

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单缝衍射的(相对) 单缝衍射的(相对)光强曲线

I

3

λa

2

λa

λa

0

λa

2

λa

3

λa

sin

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在单缝衍射中， 例1 在单缝衍射中，λ=600nm, a=0.60mm, f=60cm, 则(1)中央明纹宽度为多少？(2)两 中央明纹宽度为多少？( ?(2 个第三级暗纹之间的距离？ 个第三级暗纹之间的距离？ 解 ⑴ 中央明纹的宽度 ⑵第三级暗纹在屏上的位置

x3 = f tan = f 3

λa

= 3l0

两个第三级暗纹之间的距离

x = 6l = 7.2mm0

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在单缝衍射中， 例2 在单缝衍射中，若使单缝和透镜分别 稍向上移，则衍射条纹将如何变化？ 稍向上移，则衍射条纹将如何变化？ 答 单缝上移→衍射光束向上平移→经透镜聚焦后， ⑴单缝上移→衍射光束向上平移→经透镜聚焦后， 位置不变→条纹不变 位置不变→ 透镜上移→衍射光束经透镜聚焦后， ⑵透镜上移→衍射光束经透镜聚焦后，位置随之 上移→ 上移→条纹向上平移

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例3 在单缝夫琅和费衍射实验中， 缝宽a=10λ , 在单缝夫琅和费衍射实验中 ， 缝宽 λ 试求第一级明纹的角宽度， 缝后透镜焦距 f =40cm , 试求第一级明纹的角宽度， 线宽度以及中央明纹的线宽度。 线宽度以及中央明纹的线宽度。 解：由暗纹公式

asin = kλ,当k

=1, =1,2时有

asin 1 = λ所以第一级暗纹衍射角 第二级暗纹衍射角

asin 2 = 2λ

1 = sin 1 = λ/ a太原理工大学物理系

2 = sin 2 = 2λ/ a

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所以第一级明纹角宽度

= 2 1 = λ/ a = 0.1 rad第一级明纹线宽度

x1 = f = 4cm中央明纹的线宽度

l = 2 =8 x cm0 1

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