第三节 函数的极限(Limits of Functions)

第一章

一、函数的极限 *二、函数极限的严格定义

三、夹逼准则与重要极限Ⅱ四、无穷小与无穷大

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一、函数的极限

对应的函数值 如果函数 f ( x) 在自变量的某个变化过程中， 那么这个确定的数 A 就叫做在这 无限接近于某个确定的数 A , 一变化过程中函数的极限. 由于自变量的变化过程不同，函数的极限就表现为不同 的形式. 数列极限可看作函数 f (n) 当 n 时的极限，这里自变 量的变化过程是 n (n N ) . 注意：这里的 n 是离散变化的. 下面主要研究当自变量 x 趋于无穷大或趋于有限值时，注意：这里的 x 是连续变化的. 函数 f ( x) 的极限.

1.自变量趋于无穷大时函数的极限(Limits Involving Infinity)目录 上页 下页

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函数 f ( x) 趋于一 定义1 如果当 x 的绝对值无限增大时， 则称当 x 时，函数 f ( x) 以 A 为极限， 记作 个常数 A ,lim f ( x ) A 或 f ( x) A( x ) .x

定义2 如果当 x 0 且无限增大时， 函数 f ( x) 趋于一个 常数 A , 则称当 x 时，函数 f ( x) 以 A 为极限， 记作函数 f ( x) 趋 定义3 如果当 x 0 且 x 的绝对值无限增大时， 则称当 x 时，函数 f ( x) 以 A 为极限， 于一个常数 A , 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x) A( x ) .x

x

lim f ( x ) A 或 f ( x) A( x ) .

注: 一般地, 在没有标明正负号的情况下, lim x x x

f ( x) A

要求满足 lim f ( x) A 和 lim f ( x) A 同时成立.目录 上页 下页

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1 例1 考察 lim(1 2 ) . x x 1 解: 当 x 时, 2 无限变小, 函数值趋于1; x 当 x 时 ,函数值同样趋于 1,所以有例2解:1 lim(1 2 ) 1 . x x 考察 lim 3x .x

当 x 时, 3x 0 ,x

所以

lim 3 0x

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2.自变量趋于有限值时函数的极限.(Limits Involving Finites)x2 1 观察函数 y f ( x) ( x 1) 当 x 1 时的变化趋势 x 1通过观察， 我们可以看到，

虽然函数在点 x 1 处没有定义，

f 但当 x 1 时， ( x) 与 2 无限接近.

f 我们称当 x 1 时， ( x) 的极限是 2.

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定义4

设函数 y f ( x) 在点 x0 的某个去心邻域内有

定义， 函数 f ( x) 以 A 为极限， 如果当 x 趋于 x0 (但 x x0 )时，记作x x0

lim f ( x) A 或 f ( x) A( x x0 ) .

也称当 x x0 时，函数 f ( x) 的极限存在； 否则称函数

f ( x) 在 x x0 时发散或者极限不存在.一般地， 考察函数 f ( x) 在 x x0 的极限时， 常常

需要考察

为此， x 分别从左边和从右边趋于 x0 时，函数值的变化趋势，

我们引入左、右极限的概念.目录 上页 下页

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定义5 设函数 y f ( x) 在点 x0 右侧的某个邻域 (点 x0 本 身可以除外)内有定义， 如果当 x x0 且趋于 x0 ( x x0 )时， 函数 f ( x) 以 A 为极限， 当 x x0 时，函数 f ( x) 的右 则称 极限是 A , 记作x x0

lim f ( x) A 或 f ( x) A( x x0 ) 或 f ( x0 0) A .

定义6 设函数 y f ( x) 在点 x0 左侧的某个邻域 (点 x0 本 身可以除外)内有定义， 如果当 x x0 且趋于 x0 ( x x0 )时， 函数 f ( x) 以 A 为极限， 当 x x0 时，函数 f ( x) 的左 则称

极限是 A ,x x0

lim f ( x) A 或 f ( x) A( x x0 ) 或 f ( x0 0) A .目录 上页 下页

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根据上述定义，可以得出极限存在的充分必要条件： 定理1 当 x x0 时， f ( x) 以 A 为极限的充分必要条件是

f ( x) 在点 x0 处的左、右极限存在且都等于 A .即x x0

lim f ( x) A lim f ( x) A lim f ( x) .x x0 x x0

x 2, x 1 ,试判断 lim f ( x ) 是否存在. 例3 设 f ( x) . , x 1 x 1 3x,

解 先分别求 f ( x) 在 x 1 时的左、右极限：x 1

lim f ( x) lim 3 x 3 lim f ( x) lim( x 2) 3 x 1x 1 x 1

左、右极限存在且相等， 所以 lim f ( x ) 3 x 1目录 上页 下页

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例4(补充题) 设函数

y

x 1, x 0 1 f ( x) 0 , x 0 o 1 x 1 , x 0 y x 1 讨论 x 0 时 f (x) 的极限是否存在 .解:因为x 0 x 0

y x 1

x

lim f ( x) lim ( x 1) 1x 0

lim f ( x) lim ( x 1) 1x 0 x 0

显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .目录 上页 下页

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例5

讨论 lim e 是否存在.x 0

1 x

1 1 1 解 当 x 0 时， , e x 即 lim e x x x 0 1 1 , ex 0 当 x 0 时， 即 xx 01 x

lim e 01 x

1 x

lim e 只是一种记号， 不能称“ lim e 存在”“ x 0 注: x 0 或 x 0

, 只能说“ x 0 时， e 趋于 ” 时，e 收敛于 ”

1 x

1 x

或“ x 0 时， e 发散到 ” .目录 上页 下页

1 x

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*二、函数极限的严格定义

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1.自变量趋于无穷大时函数的极限(Limits Involving Infinity)sin x 观察函数 y 当 x 时的变化趋势 x

通过观察：当 | x | 无限增大时，

sin x 无限接近于 0 . f ( x) x

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问题：如何用数学语言刻画函数“无限接近”?我们用 f ( x) A

表示 f ( x) A 任意小； | x | X 用

表示 x 趋于无穷大的过程.定义 1

设函数 f ( x) 当 | x | 大于某一正数时有定义. 如果

存在常数 A ,对于任意给定的正数 (无论它多么小) 总存在 ， 正数 X ,使得适合不等式 | x | X 的一切 x 所对应的函数值 f ( x)都满足不等式f ( x) A ,

那么常数 A 就叫做函数 f ( x) 当 x 趋于无穷大时的极限， 记作

lim f ( x) A 或 f ( x ) A ( x ) .x 目录 上页 下页

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定义1可简单地表达为：lim f ( x) A x

0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f ( x) A ,x X 或x X几何解释:yA A

A f ( x) A y f (x)

A

X

o

X

x

补充定义 如果 lim f ( x) A ,的水平渐近线 那么直线 y A 是函数 y f ( x) 直线 y = A 为曲线 x 的图形的水平渐进线.目录 上页 下页

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两种特殊情况 :x

lim f ( x) A lim f ( x) A

0 , X 0 , 当 f ( x) A

时, 有

x

0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f ( x) A

几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .例如，1 1 x

都有水平渐近线 y 0 ;又如，

1 x

都有水平渐近线 y 1.目录 上页 下页

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sin x 例1 证明 lim 0. x x证:1 sin x sin x 0 | x| x x

sin x 1 故 0 , 欲使 0 ,即 x , x 1 取 X , 当 x X 时, 就有

因此 注: 是的水平渐近线.目录 上页 下页

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