3离散傅立叶变换和快速傅立叶变换I

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信号分析与处理第2章 离散傅立叶变换和 快速傅立叶变换(I)

徐科军 主编《信号分析与处理》配套课件 合肥工业大学 陈强 制作

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内容提要连续时间信号的傅里叶变换时间连续频率离散的傅里叶变换 时间连续频率连续的傅里叶变换

离散傅立叶变换及性质序列的傅里叶变换 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换的性质 离散傅里叶变换在应用中的问题徐科军 主编《信号分析与处理》配套课件 合肥工业大学 陈强 制作2

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3.1 连续时间信号的傅里叶变换时间连续频率离散的傅里叶变换连续周期信号可以展成傅里叶级数1 T2 X ( jk 0 ) = ∫ x ( t ) e jk 0t dt T T 2 ∞ x ( t ) = ∑ X ( jk 0 ) e jk 0t k =∞

时间连续频率连续的傅里叶变换连续非周期信号的傅里叶变换结果是连续非周期 频谱 X ( j ) = ∞ x(t )e jt dt ∫∞ 1 ∞ x(t ) = X ( j )e jt d 2π ∫∞ 徐科军 主编《信号分析与处理》配套课件 合肥工业大学 陈强 制作3

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3.2 离散傅里叶变换及性质序列的傅里叶变换(DTFT)信号采样，傅里叶变换的积分转为求和∞ jω X e = ∑ x(n )e jωn n = ∞ π x(n ) = 1 X e jω e jωn dω 2π ∫π

( )

( )

DTFT的结果是周期函数X e

(

j ( ω + 2π )

) ∑=∞

= X ( e jω )

n =∞

x ( n) e

j ( ω + 2π ) n

=e

j 2π n

n =∞

∑

∞

x ( n ) e jω n

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实际频率、角频率、圆周频率、归一化频率 fs fs s s 2π π 0 fs fs

2

2

实际频率 fs 2π

2

0

s

2

角频率 = 2π f 圆周频率 ω = 2π f f s 归一化频率 f ′ = f f s

0

π1

1 1 2

0

2

1

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DTFT的性质X (ejω

) = X ( z)

z = e jω

=

n =∞

∑

∞

x (n) z

n z = e jω

=

n =∞

∑

∞

x ( n ) e jω n

DTFT就是单位圆上的z变换，故序列的傅里 叶变换的一切性质，皆可由z变换得到，详见 课本表3.2.1

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周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)周期连续信号 ~ (t ) x=k = ∞

T = NTs

X (k 0 )e jk0t ∑

∞

离散信号周期N

周期离散信号 ~ (nT ) x = ~ (t ) t = nT xs

离散

周期

s

连续信号 离散、非周期 基波频率0 =

2π 2π = T NTs

2π ~ = ∑ X (k 0 ) exp jk NT nTs k s ~ 2π = ∑ X (k 0 ) exp j nk N k 离散信号的频谱周期s = 2π 2πN 2πN = = = N 0 Ts NT s T

离散频谱周期N徐科军 主编《信号分析与处理》配套课件 合肥工业大学 陈强 制作7

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~(nT ) 是周期离散的，周期 N,间隔 T x s s ~ X (k0 ) 是周期离散的，周期 N,间隔 0∞ 1 T2 jk 0t jω dt X (k 0 ) = ∫ x(t )e X e = ∑ x(n )e jω

n T T 2 n = ∞ FS : DTFT : ∞ π x(t ) = ∑ X (k 0 )e jk0t x(n ) = 1 X e jω e jωn dω k = ∞ 2π ∫π

( )

( )

时域为周期时，求频谱时积分 求和 时域为周期时，求频谱时积分/求和 在信号的一个周期内进行

频域为周期时，求信号的积分/ 频域为周期时，求信号的积分/求和 在频谱的一个周期内进行

DFS

N 1 ~ 2π X (k ) = ∑ ~ (n ) exp j x nk k = ∞ ~ ∞ N n =0 1 N 1 ~ ~ (n ) = ∑ X (k ) exp j 2π nk n = ∞ ~ ∞ x N k =0 N 8

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四种形式的傅里叶变换时域信号连续， 连续，非周期

频谱 连续的傅立叶变换 FT 傅立叶级数 FS 离散时间傅立叶变换 DTFT 离散傅立叶级数 DFS非周期， 非周期，连续 ∞ X ( j ) = ∫ x(t )e jt dt ∞ 非周期， 非周期，离散 1 T2 X (k 0 ) = ∫ x(t )e jk t dt T 20

连续， 连续，周期

T

离散，非周期 离散，

周期， 周期，连续X e

( ) = ∑ x(n)ejω ∞ n = ∞

jωn

离散， 离散，周期

周期， 周期，离散N 1 2π ~ X (k ) = ∑ ~ (n ) exp j x nk N n =0

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离散傅里叶变换的定义由DFS和IDFS定义可知，求和运算分别在 n=0~N-1和k=0~N-1的一个周期内进行 分别在DFS的时域和频域各取一个周期作为 周期序列的主值序列，将时域和频域的无限 长周期序列看作是主值序列周期延拓的结果 这样，时域和频域都是有限长序列，适合用 计算机处理

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离散傅里叶变换(DFT)N 1 X ( k ) = ∑ x ( n ) WNnk n =0 1 N 1 x (n) = X ( k ) WN nk ∑ N k =0

k = 0,1, , N 1 WN = e n = 0,1, , N 1

j

2π N

注意，离散傅里叶变换只是从离散傅里叶级 数时域和频域各取一个周期，并非第五种傅 里叶变换！徐科军 主编《信号分析与处理》配套课 …… 此处隐藏：1953字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……