山东财经大学 微积分课件 §1-9

§1.9 函数的连续性一、函数的连续性 1. 改变量(增量) 定义1.9.1 设变量 u 从初值 u 1 变到终值 u 2 , 则 u 2 u 1 即 u u 2 u1y f (x)

叫做变量 u 的改变量(增量), 记作： u

注意

增量可正、可负、可零.

y

y

设函数 y f ( x ) 在点 x 0 某邻域内有定义,

xo

给自变量 x 一增量 x , 函数相应增量为:

y f ( x0 x ) f ( x0 )

x0

x0 x

x

2、连续函数 定义1.9.2 x 0

设函数 y f ( x ) 在点 x 0 某邻域内有定义,即 lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 (1) x 0

若 lim y 0

则称函数 y f ( x ) 在点 x 0 处连续. 若记 x x 0 x , 则 x 0 x x 0 , y f ( x ) f ( x 0 ) x 0

lim y lim [ f ( x ) f ( x 0 )]x x0

0 lim f ( x ) f ( x 0 )x x0

定义1.9.3 设函数 y f ( x ) 在点 x 0 某邻域内有定义,lim 若 x x f ( x ) f ( x0 )0

(2)

则称函数 y f ( x ) 在点 x 0 处连续.2

由定义1.9.3知,

1). f ( x 0 ) ; f ( x ) 在点 x 0 处连续. 2 ). lim f ( x ) ; x x0 3 ). lim f ( x ) f ( x 0 ). x x0 y f ( x ) 在点 x 0 处连续. lim f ( x ) 存在. x x0

注意

左、右连续: (定义1.9.4)若 lim f ( x ) f ( x 0 ) 则称函数 y f ( x ) 在点 x 0 处左连续. x x0

若 lim f ( x ) f ( x 0 ) 则称函数 y f ( x ) 在点 x 0 处右连续. x x0

定理

f ( x ) 在点 x0 处连续. f ( x ) 在点 x 0 处左、右都连续.

定义1.9.5若 f ( x ) 在区间 (a,b) 内每一点处都连续，则称 f ( x )在 (a,b) 内连续

若 f ( x ) 在 (a,b) 内连续， 且在左端点右连续，右端点左连续，则称 f ( x ) 在闭区间 [a,b] 上连续. 若 f ( x ) 在某区域内连续,则称 f ( x ) 为该区域内的连续函数.4

1 x sin , 例1. 讨论函数 f ( x ) x 0,

x 0 x 0

在 x 0 处的连续性.

解

f ( 0 ) 0 , lim f ( x ) lim x sinx 0x 0

1 x

0 f (0)

所以 f ( x ) 在 x 0 处连续. x 2 x 1, 例2. 讨论函数 f ( x ) sin x 1, x 0 x 0

在 x 0 处的连续性.

解 f ( 0 ) 1,x 0

lim f ( x ) lim ( x x 1 ) 1,2 x 0

x 0

lim f ( x ) lim (sin x 1) 1, x 0

lim f ( x ) 1 f ( 0 )x 0

所以 f ( x ) 在 x 0 处连续.5

二、函数的间断点及其分类 1 ). f ( x 0 ) ; x 0 处连续. 2 ). lim f ( x ) ; f ( x ) 在点 x x0 3 ). lim f ( x ) f ( x 0 ). x x0

以上三个条件只要有一条不满足, 函数 f ( x ) 在点 x 0 处不连续.即 f ( x ) 在点 x 0 处间断, 并称 x 0 为函数f ( x ) 的间断点.

间断点的分类:第一类间断点 ( 特点:左、右极限都存在 )

可去间断点； f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ), f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ),

跳跃间断点；

第二类间断点 (特点：左、右极限至少有一个不存在)6

例3. 函数 f ( x )

1 x

在 x 0 处无定义, 从而间断.1 x

因 lim

1 x

x 0

, 称 x 0 为函数 f ( x ) 1 x

的无穷间断点.

例4. 函数 f ( x ) sin

在 x 0 处无定义, 从而间断.

因 x 0 时, 函数值在-1与1之间变动无限多次,

称 x 0 为函数 f ( x ) sin例5. 函数 f ( x ) x 12

1 x

的震荡间断点.

x 1 2 x 1 x 1 lim 2 但 lim f ( x ) lim x 1 x 1 x 1 x 1 1

在 x 1处 无定义, 从而间断.

x 1 为可去间断点. 补充 f (1) 2 即可连续.7

sin x , 例6.函数 f ( x ) x 0,

x 0 x 0

在 x 0 处.

lim f ( x ) limx 0

sin x x

x 0

1 f (0) 0x 0 x 0 在 x 0 处, x 0

yy x 1

x 0 为可去间断点. 改变 f ( 0 ) 1 即可. x 1, 例7. 函数 f ( x ) 0 , x 1, x 0x 0

1 o -1y x 1

x

f ( 0 ) 0 , lim f ( x ) lim ( x 1 ) 1 x 0

lim f ( x ) lim ( x 1 ) 1 x 0

x 0

lim f ( x ) lim f ( x )x 0

x 0 为跳跃间断点.8

三、连续函数的运算与初等函数的连续性 1、连续函数的四则运算 则 定理1.9.1 若 f ( x ), g ( x ) 均在 x 0 处连续，f ( x ) g ( x ); f ( x ) g ( x ); f(x) g( x ) ( g ( x 0 ) 0 ). 都在 x 0 处连续.

即连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数. 结论 多项式函数在其定义域内为连续函数.

分式函数在其定义域内为连续函数.三角函数在其定义域内为连续函数.

定理1.9.2 (复合函数的连续性)设函数 u g ( x ) 在点 x x 0 处连续, 函数 y f (u ) 在点 u u 0 处连续, 则 函数 y f ( g ( x )) 在点 x x 0 处连续lim f ( g ( x )) f ( lim g ( x ))x x0

g ( x 0 ) u0

x x0

说明

即函数符号与极限符号可以交换顺序.

定理1.9.3 (反函数的连续性) 若函数 y f ( x ) 在区间I x 上单调增加(或减少)且连续， 则其反函数y f 1

( x ) 在对应区间 上单调连续.

反三角函数在其定义域内为连续函数.

2、初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内都是连续的; 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 例1.求 lim ln sin xx 2

解 lim ln sin x ln sin x 2

2

x x0

lim f ( x ) f ( x 0 )

0

例2. 求 lim 解 lim

log a (1 x ) x

x 0

( a 0 , a 1)1 x 0x 0 1

log a (1 x ) xa

x 0

lim log a (1 x ) x log a [ lim (1 x ) x ]

log

e

1 ln a12

1 x sin , 例3. 设 f ( x ) x a x2,

x

0, x 0,

要使 f ( x ) 在 ( , )内连续,应当怎样选择数 a ?解 只需讨论 …… 此处隐藏：1935字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……