高中数学 必修2

复习回顾：直线与平面的垂直

m是平面 内的任一条直线a⊥ m a⊥ m a⊥ n m n m∩n=A

a⊥

a∥ bb⊥

a⊥

a⊥

情境问题：关于线面垂直的一个重要结论： 在空间: (1) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直； (2) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. D1

C1B1

A1

在如图所示的长方体中，过A1点有且只有棱 AA1与底面AC垂直. 而A1B,A1C,A1D虽然都与底面ABCD相 交，但都不与底面ABCD垂直.它们与底面 的关系如何表述呢？

D A

C

B

数学建构：平面的斜线 P A P l 一条直线和一个平面相交但是 不垂直，称这条直线为这个平面的 斜线；斜线和平面的交点叫做斜足；

Q

A

从平面外一点向平面引斜线，点与斜足间的线段叫做点到平面的斜线段； 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影； 垂足和斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段在这个平面内的射影.

数学建构：平面的斜线与平面所成的角.

P

l

P

Q

平面的一条斜线与它在这个平面内射影所成的锐角，叫做这条直线与这 个平面所成的角. 特别地：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角； 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0 . 注：斜线PQ与平面 所成的角∠PQP ,是斜线PQ与平面 内经过 点Q的直线所成的所有角中最小的角.

斜线和平面所成角的取值范围为(0 ,90 );直线和平面所成角θ的取值范围为[0 ,90 ].

数学应用：例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求: (1)直线A1B和平面ABCD所成的角； (2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角. D1

C1B1

A1

D A

C

B

数学应用：例2 如图，已知AC,AB分别是平面 的垂线和斜线，C,B分别是垂 足和斜足，a ,a⊥BC. 求证：a⊥AB. 分析： 证明： AC⊥ a 因为AB 平面ABC.所以只要证明a⊥平面ABC.

AC⊥aa⊥BC AC∩BC=C

AB 平面ABC a⊥平面ABC

a⊥AB A a

B

C

数学应用：变式 如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条 直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.

A

a

B

C

数学应用：练习： 1.两条平行直线在平面内的射影可能是：①两条平行线；②两条相交 直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 . 2.设斜线与平面 所成角为θ,斜线长为l,则它在平面内的射影长 是 . 3.一条与平面相交的线段，其长度为10cm,两端点到平面的距离分别 是2cm,3cm,这条线段与平面 所成的角是 .

数学应用：4.如图所示，已知正△ABC的边长为6cm,点O到△ABC的各顶点的距 离都是4cm. (1)求点O到这个三角

形所在平面的距离；

(2)求AO与底面ABC所成的角的大小.

O

C H A

D

B

小结：知识点： 点、线在平面内的射影； 直线与平面所成的角.

作业：课本40页练习第3,5. 课本42页习题1.2(2)11,14.