18.3.1 一次函数

问题1 小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路 后,小明观察里程碑,发现汽车的平均速度是95千米/ 时.已知A地直达北京的高速公路全程570千米,小明想 知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速 公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自 己和北京的距离. 分 析 我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而 变化.要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得 出相应的值,显然,应该探究这两个量之间的变化规 律.为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时, 汽车距北京的路程为s千米,则不难得到s与t的函数关 系式是s=570-95t (1)

问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来. 他已存有50元,从现在起每个月节存12元.试写出 小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数 关系式.

分 析 同样,我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为y=_______________ 50+12x (2)

概括上述函数的解析式都是用自变量的一次整式 表示的,我们称它们为一次函数. 一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其 中k、b是常数,k≠0. 特别地,当b=0时,一次函数y=kx(常数k≠0)也叫 做正比例函数.

思考前两节所看到的函数中,哪些是一次函数?

练习1.仓库内原有粉笔400盒,如果每个星期领出36 盒,求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间 的函数关系式. (0≤t≤11且为整数) Q=400-36t 2.今年植树节,同学们种的树苗高约1.80米.据介 绍,这种树苗在10年内平均每年长高0.35米,求 树高(米)与年数之间的函数关系式,并算一算4 年后这些树约有多高. (0≤x≤10且为整数) y=1.80+0.35x 3.小徐的爸爸为小徐存了一份教育储蓄.首次存 入1万元,以后每个月存入500元,存满3万元止. 求存款数增长的规律.几个月后可存满全额? y=10000+500x (0≤x≤40且为整数) 4.以上3道题中的函数有什么共同特点？

1.下列函数关系中,哪些属于一次函数,其中哪些 又属于正比例函数? (1)面积为10cm² 的三角形的底a(cm)与这边上的高 h(cm); (1) a= 20 , a不是h的一次函数; h(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽 b(cm); (2) L=2b+16, L是b一次函数; (3)食堂原有煤120吨,每天要用去5吨,x天后还剩 下煤y吨; (3) y=150-5x, y是x一次函数;

练习

(4)汽车每小时行驶40千米,行驶的路程s(千米)和 时间t(小时). (4) s=40t, s是既t的一次函数又是正比例函数. (5)圆圆的半径面积Scm² 与r(cm); (5) S= r² S不是r的一次函数;

2.已知函数y=(k-2)x+2k+1,若它是正比例函数, 求k的值;若它是一次函数,求k的取值范围.

解:则

若y=(k-2)x+2k+1是正比例函数k-2≠0, 解得 k=- 1 2

2k+1=0,

若y=(k-2)x+2k

+1是一次函数 则k-2≠0, 即k ≠ 2

3.已知y与x-3成正比例,当x=4时, y=3 . (1)写出y与x之间的函数关系式;(2) y与x之间是什么函数关系式; (3)求x =2.5时, y的值 解: (1) ∵ y与x-3成正比例

∴可设y = k(x-3)又∵当x=4时, y=3 ∴3 = k(4-3)

(k ≠ 0)

解得k =3 ∴y = 3(x-3) = 3x-9 (2) y是x的一次函数;

(3)当x =2.5时, y = 3×2.5-9 =-1.5

4.已知A、B两地相距30千米, B 、C两地相距48千米, 某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发,经 过B地到达C地.设此人骑车时间为x(时)离B地距离为 y(千米). (1)当此人在A、B两地之间时,求 y与x之间的函数关 系式及自变量x的取值范围;(2)当此人在B 、C两地之间时,求 y与x之间的函数关 系式及自变量x的取值范围; 分析: 略解: (1) y=30-12x, (2) y=12x -30, (0≤x ≤2.5) (2.5≤x ≤6.5)

5.某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟内,只 开进油管,不开出油管,油罐进油至24吨后,将进油管 和出油管同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40 吨.随后又关闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的 油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分 别保持不变.写出这段时间内油罐的储油量y(吨)与 进出油时间x(分)的函数式及相应的x取值范围. 分析: 解: (1)在第一阶段: (0≤x ≤8) 24÷8=3∴ y= 3x (0≤x ≤8)

5.某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟内,只 开进油管,不开出油管,油罐进油至24吨后,将进油管 和出油管同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40 吨.随后又关闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的 油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分 别保持不变.写出这段时间内油罐的储油量y(吨)与 进出油时间x(分)的函数式及相应的x取值范围. 解: (2)在第二阶段: (8≤x ≤8+16)设每分钟放出油m吨,

则 16×3-16m =40-24∴ y= 24+(3-2)(x-8) (8≤x ≤24) 即 y= 16+x

m =2

5.某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟内,只 开进油管,不开出油管,油罐进油至24吨后,将进油管 和出油管同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40 吨.随后又关闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的 油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分 别保持不变.写出这段时间内油罐的储油量y(吨)与 进出油时间x(分)的函数式及相应的x取值范围. 解: (3)在第三阶段:40÷2=20 ∴ 即 24+20 =44 y= 40-2(x-24) y=-2x +88 (24≤x ≤44)

小结函数的解析式是用自变量的一次整式表示的, 我们称它们为一次函数.

一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其 中k、b是常数,k≠0.特别地,当b=0时,一次函数y=kx(常数k≠0)也叫 做正比例函数. 正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例.

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