函数的极值与最大值最小值

第三章 微分中值定理与导数的应用

第五节 函数的极值与最大值最小值

第三章 第五节 函数的极值与 最大值最小值

一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值 三、最优化问题及其应用

高等数学(上)

第三章 微分中值定理与导数的应用

第五节 函数的极值与最大值最小值

一、函数的极值及其求法定义 (1) (2)

在其中当 则称 为称 则称 称 为

时,的 极大值点,

为函数的 极大值 ; 的 极小值点 , 为函数的 极小值 .

极大值点与极小值点统称为极值点 . 根据上述定义和费马定理可得如下定理： 定理1(极值的必要条件) 设函数且在 处取得极值，那么高等数学(上)

在 处可导,

第三章 微分中值定理与导数的应用

第五节 函数的极值与最大值最小值

例如 , 函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 3 为极大值点, 是极大值

y2 1

为极小值点,注意:

是极小值 O 1 2 x 1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对常见函数, 极值可能出现在 导数为 0 或不存在的点.x 1 , x4 为极大值点 x 2 , x5 为极小值点

y

x3 不是极值点

O a x1 x2 x3 x4高等数学(上)

x5 b x

第三章 微分中值定理与导数的应用

第五节 函数的极值与最大值最小值

定理 2 (极值第一判别法)设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内连续 , 且在空心邻域

内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,(1) f (x) “左正右负” ,则 f ( x) 在 x0 取极大值 . (2) f (x) “左负右正” ,则 f ( x) 在 x0 取极小值 ;(自证)

点击图中任意处动画播放\暂停

高等数学(上)

第三章 微分中值定理与导数的应用

第五节 函数的极值与最大值最小值

求极值点和极值的步骤 ① 求出函数 f (x) 的定义域以及导数 f (x) ; ② 求出 f (x)的全部驻点以及使导数 f (x) 不存在的点； ③ 考察导数 f (x) 在这些点邻近的变化情况, 以便确定这些点是否为极值点. 若是，再由定理2确 定对应的函数值是极大值还是极小值； ④ 求出各极值点处的函数值，就得函数 f (x) 的全部极. 以上步骤可通过列表辅助进行.高等数学(上)

第三章 微分中值定理与导数的应用

第五节 函数的极值与最大值最小值

例1 求函数2 3

的极值 . 1 3

解 1) 求导数 f ( x) x ( x 1) 2 x 3 2) 求极值可疑点3) 列表判别x ( , 0)f (x)

2 x 5 5 3 3 x

2 令 f ( x) 0 , 得 x1 5 ; 且有点 x2 0 不可导

0

(0 , 2 )5

2 5

( 2 , )5

0

0 0.33

f (x)

其极大值为 是极大值点， 是极小值点， 其极小值为高等数学(上)

第三章 微分中值定理与导数的应用

第五节 函数的极值与最大值最小值

定理3 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 则 证 (1) f ( x0 ) x

x0

在点 在点x x0

取极大值 ; 取极小值 . lim f ( x) x x0x x0

lim

f ( x) f ( x0 )

由 f ( x0 ) 0 知, 存在 0 , 当0 x x0 时,

f 故当 x0 x x0 时， ( x) 0 ; f 当x0 x x0 时， ( x) 0 ,

x0

x0 x0

由第一判别法知 f ( x) 在 x0 取极大值 . (2) 类似可证 .高等数学(上)

第三章 微分中值定理与导数的应用

第五节 函数的极值与最大值最小值

例2 求函数 解 1) 求导数 ( x) 6 x ( x 2 1) 2 , f

的极值 . ( x) 6 ( x 2 1)(5 x 2 1) f

2) 求驻点 令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别 因 f (0) 6 0 , 故 为极小值 ;y

又 f ( 1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.

1

O

1

x

高等数学(上)

第三章 微分中值定理与导数的应用

第五节 函数的极值与最大值最小值

定理4 (判别法的推广) 数,且 则: 1) 当 n为偶数时,f( n)

( x0 ) 0 ,

为极值点 , 且是极小点 ; 是极大点 .

2) 当 n为奇数时,证 利用 在

不是极值点 .点的泰勒公式 , 可得f(n)

f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )

( x0 )

n!

( x x0 )

n

当 充分接近 o(( 时, x0 ) n ) x 上式左端正负号由右端第一项确定 , 故结论正确 .高等数学(上)

第三章 微分中值定理与导数的应用

第五节 函数的极值与最大值最小值

例如 , 例2中f ( x) 24 x (5 x 3) ,2

y

f ( 1) 0 1

所以

不是极值点 .

O

1

x

说明: 极值的判别法( 定理2 ~ 定理4 ) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如:

f (0) 2 为极大值 , 但不满足定理2

~ 定理4 的条件.高等数学(上)

第三章 微分中值定理与导数的应用

第五节 函数的极值与最大值最小值

二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 M max 最小值

f (a) , f (b)

内只有一个极值可疑点时, 若在此点取极大(小) 值 , 则也是最大(小) 值 . 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到.高等数学(上)

特别: 当

在

第三章 微分中值定理与导数的应用

第五节 函数的极值与最大值最小值

例3 求函数 上的最大值和最小值 . 解 显然3 2

在闭区间y

且0 x 5 2 1 4

3 2 (2 x 9 x 12 x) , 1 x 0 4

2 x 9 x 12 x ,

O

1

2

5 2

x

2 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2) , …… 此处隐藏：1740字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……