振动是一种普遍的运动形式

机械振动: 物体在某固定位置附近的往复运动.广义振动:任何一个物理量在某一量值附近随 时间作周期性变化.无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由振动 自由振动 无阻尼自由谐振动 (简谐振动)

振动受迫振动

阻 尼自由振动 共振

2

§4.1 简谐振动的动力学特征振动中最简单最基本的是简谐振动 简谐振动: 一个做往复运动的物体，如果其偏离平衡 位置的位移x (或 ) 随时间 t 按余弦(或正弦)规 律变化的振动 x=Acos( t+ 0) ——运动学方程

x 可作广义理解: 位移、电流、场强、温度…3

一、弹簧振子模型 F

0

x

x

平衡位置为 x=0 弹性恢复力 F= -kxd2x m 2 kx dt

(线性回复力)k 令 m2

d2x 2 x 0 2 dt

——动力学方程4

二、微振动的简谐近似1. 单摆 平衡位置方向为 泰勒级数展开1 3 1 5 sin 3! 5!m 0 mg

0

c

力矩 M mgl sin

l T

l

线性恢复力矩

M mgl M J

J ml 2g l25

2 d 2 ml 2 mgl dt

d 2 2 0 ——动力学方程 2 dt

2.复 摆M mghsin

M mgh d 2 J 2 mgh dt mgh 2 令 J

oh

cF

d 2 2 0 ——动力学方程 2 dt6

三、简谐振动的动力学特征(判据 )1. 受力特征 线性回复力

F kx b

物体在其稳定平衡位置附近的无阻尼 微小振动，总可以看成是简谐振动. 2.动力学方程d2 x 2 x 0 2 dt

3. *能量特征

E Ek E p const 1 2 E p kx 27

例: 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧重量和阻力， 试证其在平衡位置附近的振动是谐振动。 证：以平衡位置0为原点，向下为x轴正向 △l 是弹簧挂上重物后的静伸长 k l mg 设某一瞬时m的坐标为xd2x m 2 k ( x l ) mg dtd2x m 2 kx dt l

0

AF

xx

Amg8

动力学方程

d2x 2 x 0 2 dt

§4.2 简谐振动的运动学 一、简谐振动的运动学方程d2x 2 x 0 2 dt x A cos( t 0 )A、 0 由初始 条件所决定

1.速度 dx A sin( t 0 ) m cos( t 0 ) dt 2 2.加速度 d a A 2 cos( t 0 ) am cos( t 0 ) dt 2 a x9

A2 x2

二. 描述谐振动的三个特征量1.振幅A 由初始条件决定 t=0x A cos( t 0 )

x0 A cos 0 0 A sin 0

0 A x0 2 2

2

2. 周期T 完成一次完全振动所需的时间x A cos( t 0 ) A cos[ (t T ) 0 ] x A cos( t 0 2 )10

周期T: 频率 :

T

2

1 T

2

圆频率:

2

固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定频率 固有圆频率 弹簧振子 单摆 复摆 k m

g lmgh J

11

3. 位相和初位相 x A cos( t 0 ) A sin( t 0 )

(1) 能唯一确定系统运动状态，而又能反映其周期性 特征的的物理量 = t + 0 叫做位相, 是描述系统的机械运动状态的物理量 (2)初位相: t=0时的位相 0 x0 A cos 0 0 A sin 0 0 tan 0 x0

12

(3)位相差 两振动位相之差 = 2- 1 当 =2k 时 ，k= 0,±1,±2 …… 两振动步调一致，称同相 当 = (2k+1) 时， k= 0,±1,±2…… 两振动步调相反,称反相 当0< < 时， 2 超前于 1

或 1滞后于 213

三、简谐振动的旋转矢量表示法 x A cos( t 0 ) m cos( t 0 2 ) a am cos( t 0 ) t 时刻 t=0 时刻 0O

mamx00x

x x0

X

用旋转矢量定相位

例： x0 = A/2 0 =? 0 > 0 答： 3

m

14

用旋转矢量表示相位关系 A2

A1

A2 A1

A1

0

x

0

x

A2

0

x

2 1

0 同步x

反相

旋转矢量与振动曲线

t15

例: 确定初位相 t=0 时，x0=A, 0=0.x A o -A

0 0

x0 A cos 0 A 0 A sin 0 0

o

xx0=A

t

t=0时, x0=A/2, 0<0

0

3

o

A/2 A

x

x0 A cos 0 A / 2 0 A sin 0 0

x A o -A

t

16

t=0时, x0=0, 0<0

o t=0时, x0=-A, 0=0

A

x

x A o -A x A o -A

0

2

t

0

A

o A

x

t 0 3 2

t=0时, x0=0, 0>0

o

x

x A o -A

t17

例:用振动曲线定相位差x A1 A2 o - A2 -A1 x2 x A1 T t A2 o - A2 -A1 x1 x2 T t

x1

Δ =0,同相x A1 x2

Δ =π,反相

A2

Δ =3π/2

o - A2 -A1

T x1 t

18

例: 振动曲线如图 (a) (b)所示，写出它们的振动方程。 2 解 (a ) A 5cm 5 0.4x(cm)

0 0xa 5 cos(5 t )cm2 (b ) A 3cm 10 0.2

5

0

0.2

0.4 (a)

0.6

t ( s)

x(cm)3 0 0.1 0.2 0.3 (b)19

0

2

1 x b 3 cos(10 t )cm 2

t ( s)

*例:一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示。 (1) 振子在位移为零、速度为- A、加速度为零和弹性 力为零的状态，对应于曲上的 点。 (2) 振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为 - 2A和弹性力为-kA的状态，则对曲线上的 点。

答： (1)当x=0、a=0、F=0时： 应为 0点，b点，d点，f点 又 u = - A, 则应为b点,f点

x A0 -A

ab c d

e f t

(2) 当x =A、a=- 2A 、u=0、F=-kA时： 应为 a点，e点20

§4.3 简谐振动的能

量

一、简谐振动的能量以弹簧振子为例 动能1 1 2 2 2 2 E k m m A sin ( t 0 ) 2 2 1 Ek kA2 sin 2 ( t 0 ) 2

k m2

势能

1 2 1 2 E P kx kA cos 2 ( t 0 ) 2 2

动能和势能的位相差为 总能量E Ek E p

2

1 2 1 m 2 A 2 1 m 2 E kA max 2 2 2

21

一个周期 T 内的平均值 平均动能1 EK TEK

T

0

1 kA 2 sin 2 ( t 0 )dt 2

1 kA 2 4

平均势能

1 EP T

T

0

1 kA 2 cos 2 ( t 0 )dt 2

1 E P kA 2 4

总能量平均值

1 E E p+ Ek kA 2 2

上述结论虽是从弹簧振子这一特例推出，但具 有普遍意义，适用于任何一个谐振动系统.22