￡盔顿矗鲵ｇ锡教沥９弼．需秘苡览名２馓夕中学数学杂志２００８年第９期

应用向量法证明正（余）弦定理

江苏省泰州市森南新村１５栋１０３室

向量法是一种解析方法，此法在证几何题时，由于具有几何的直观性，表述的简洁性和处理方法的一般性，因此对于数学知识的融汇贯通很有帮助．

现仅就著名的正（余）弦定理的向量证明进行介绍，供高二学生学习时参考．

１

２２５３００

于志洪

贝０

ａ２＝ｂ２＋ｃ２—２ｂｃｃｏｓＡ，

ｂ２＝ａ２＋ｃ２—２ａｃｃｏｓＢ．ｃ２＝ａ２＋ｂ２—２ａｂｃｏｓＣ．

证明：如图２，在已知ＡＡＢＣ的三边ＡＢ、ＢＣ和ＣＡ上，分别取从Ｂ向Ａ、从Ｂ向Ｃ和从Ａ向Ｃ为正方向，这

Ｂ

Ｃ

正弦定理的向量法证明

在任意ＡＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ分别为［Ａ、［日、［Ｃ

样就得到三个向量ＢＡ、ＢＣ和ＡＣ，并ＲＢＡ＋ＡＣ＝Ｂ丘根据关于向量的射影定理可知：

日Ｃ的射影＝ＢＡ‘的射影＋ＡＣ的射影ＢＣ在轴ＢＣ上的射影＝ＩＢＡ在轴ＢＣ上的射影＝ＩＡＣ在轴ＢＣ上的射影＝ｌ所以ａ＝ｃｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＣ同理可证得：

ｂ＝ａｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＡ

ｃ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ

ＢＣＩｃｏｓＯ。＝ａ；ＢＡｌｃｏｓＢ＝ｃｃｏｓＢ；ＡＣ

ｃｏｓＣ＝ｂｃｏｓＣ；

的对边，则志＝志＝盎

证明

上ＡＢ于Ｄ．

如图１，作ＣＤ

因为封闭线段在任意轴上投影的代数和为零．

又因为ＡＢ上ＤＣ，所

彳

．夕‘＼．ｊ

Ｄ

．①②③

以ＡＢ在轴ＤＣ上投影为零；而ＡＣ在ＤＣ上投影为ｂｓｉｎＡ，ＣＢ在ＤＣ上投影为一ａｓｉｎＢ．

所以ｂｓｉｎＡ—ａｓｉｎＢ＝０，所以ｂｓｉｎＡ＝ａｓｉｎＢ．所

再由① ａ一② ｂ一③ ｃ，即可得到ａ２＝ｂ２

＋ｃ２—２ｂｃｃｏｓＡ．

以志＝志．同理可证得志＝盎，壶＝志，所以南＝志＝盎

２

同法：ｂ２＝ａ２＋ｃ２，２ｂｃｃｏｓＢ

ｃ２＝口２＋ｂ２—２ａ６ｃｏｓＣ．

余弦定理的向量法证明

在任意ＡＡＢＣ中，ａ、ｂ、Ｃ为￡Ａ、［Ｂ、［Ｃ的对

上述向量法证明正（余）弦定理，不必去区分锐角、钝角、直角三角形，从而大大简化了证明过程，因而值得介绍．

边，

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应用向量法证明正(余)弦定理

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

于志洪

中学数学杂志（高中版）

ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(GAOZHONG BAN)2008，""(5)0次

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