12

p+x+y=1,p+x+y

2

2

2

数学教学研究　　　　　　　　　　　　　2006年第8期

(1)(2

)

(或一个点).欲使线束与圆系有公共点,只须圆心到

=1,

直线的距离不大于半径(当p=1时,解为x=0,y=

0;p=-1时无解).

2

-p(|p|<1),有

有实数解?

分析　题目中出现三个字母符号x、y、p,对这三个变元的不同解读,可以有不同的解题思路.

思路1　消去变元x,由(1)得x=1-p-y,代入(2)整理得　y+(p-1)y+p-p=0,由题意　y∈R,Δ=-3p+2p+1≥0,解得　-≤p≤1.3

2

2

2

由圆心O(0,0),半径r=

d=

≤1-p,

2

从而可解得　-

≤p≤1.3

[1.[M].南宁:广西教育出版

思路2　方程组显然是关于x、y的二次对称方程组,程

x+y

2

2

.

(3)

2

[2]　仲善基.中国著名特级教师数学思想录[M].

=1p,

2

(4)南京:江苏教育出版社.

[3]　席振伟.数学的思维方式[M].南京:江苏教育

(3)2-(4)得　xy=p2-p.

因而x、y为方程t+(p-1)t+p-p=0的两根,由Δ≥0即得p的范围.

思路3　由(3)式联想到表示k=-1的平行直线束,由(4)式联想到表示圆心在原点的同心圆系

出版社.

[4]　莫里兹.朱剑英译.数学家言行录[M].南京:

江苏教育出版社.

浅谈中学数学教学中“数学建模”思想的渗透

方　俊　吴　方

(湖北省武汉市江夏区实验高中　430200)

1　数学建模教学的重要性2　中学数学建模教学的意义

二十一世纪课程改革的一个重要目标就是要加强综合性、应用性内容,重视联系学生生活实际和社会实践,逐步实现应试教育向素质教育转轨.纵观近几年高考不难推断,数学应用题的数量和分值在高考中将逐步增加,题型也将逐步齐全.而以解决实际问题为目的的数学建模正是数学素质的最好体现.目前中学数学教学现状令人担忧,相当一部分教师认为数学主要是培养学生运算能力和逻辑推理能力,应用问题得不到应有的重视;至于如何从数学的角度出发,分析和处理学生周围的生活及生产实际问题更是无暇顾及;为应付高考,只在高三阶段对学生进行强化训练.因学生平时很少涉及实际建模问题的解决,其结果是可想而知的,所以在中学加强学生建模教学已刻不容缓.

在中学开展数学建模教学,可激发学生的学习积极性,学会团结协作的工作能力;培养学生的应用意识和解决日常生活中有关数学问题的能力;能使学生加强数学与其它各学科的融合,体会数学的实用价值;通过数学建模思想的渗透和训练,能使学生适应高考对人才的选拔要求,为进入大学深造打下坚实的基础,同时也是素质教育的重要体现.

3　数学建模开展的方法及例讲

3.1　在课堂结合教材及习题让学生掌握基本的数

学模型,并有意识地引入建模思想

数学模型的概念及建模的方法在高一上第二章“函数”章末有介绍

,并有相应的举例讲解和实习作业,这里不再累述.对于类似数学问题,我们不能一带而过,要不断的引导学生用数学思维的观点去观

n

察、分析和表示各种事物关系和数学信息,从而激发学生学习数学的兴趣和养成学生应用数学建模的方法去解决问题的习惯.

例1　解不等式

3

<x+5x<6.3+x-1(x-1)

f(n)=

=

n

10

+1≥3,

当且仅当n=10(年)时等号成立.

故使用10年报废最合算.

3.3　设计恰当的数学问题进行课外建模活动

解　此不等式是一个高次不等式,由于

与x3+5x具有一定的相似性,故构造3+x-1(x-1)

建模过程以小组为一个单位,将全班分成若干小组,大家参与,各有分工,作意识.,,专业术语,,经过学生的努力是可以完成的;也适当提高难度,给学生较长期时间查阅资料,建立模型,并提交小论文.

例4　2006年4月26日《海南经济报》报道:经多年论证,海南卫星发射基地项目已由总装部向国务院和中央军委申请立项,年内有望完成立项实施,海南发射中心估计在2010年之前建设和投入使用……海南是我国纬度最低的距离赤道最近的一个省份,距离赤道越近、纬度越低,发射卫星所需要的能耗就越低,速度也越快.

问题:请你查阅相关数据,从火箭运载能力方面论证在海南建卫星发射基地的优越性.

(参考资料:CZ—3B型火箭的起飞质量为426

函数f(t)=t3+5t,则上述不等式可变为f3

)<fx-1

(x)<f(1).由于f(t)=t+5t关于t是单调递增的,

所以不等式可化为

<x<1,-1,.x-1

3

说明　ftt5t.

+例2　a、b、m∈R且a<b,求证:

>b+m

.b

如此纯数学问题:我们可以增加它的背景,让它生活化.将a千克的食盐配成b千克的盐水,其浓度

为,若在此盐水中再加入m千克的盐,其浓度为

b,显然加盐后溶液浓度增大,即原不等式成立.b+m

说明　如此处理既活跃了气氛,又引入了数学模型,将原来枯燥的数学式子生活化了,和学生的距离拉近了,增加了学生应用数学的意识.

3.2　深入生活联系实际,发现生活中的数学问题,

吨,火箭运载能力为5吨,海南岛、西昌、酒泉纬度分

).别为北纬19°,北纬28.2°,北纬39.4°

解　(1)模型假设.把火箭的发射看成以初速vi

的匀加速运动,且末速v为第一宇宙速度;把地球看作球体;只用火箭所需的能量来衡量火箭运载能力.

(2)符号说明.θEi、Ci、vi分别为地球上某点Aii、

强化应用意识

目前很多学生还没有意识到生活中处处存在着数学,处处存在着要用数学解决的问题,如果教师能利用学生生活中的事情作背景编制应用题,必然会大大提高学生用数学的意识及学习数学的兴趣.

例3　某种汽车购买时费用为10万元,每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元,汽车的维修费用平均为第一年2千元,第二年4千元,第三年为

6千元,依次成等差数列递增,问这种汽车使用多少

的纬度、火箭所需能量、纬度周长和地球自转所产生的线速度;M、m分别表示火箭的质量及运载能力;地球半径R=6370(千米).

(3)模型的建立.根据球体的几何知识可得vi=

C24×60×60

πRcosθ2(千米/秒),

24×60×60

年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?

分析　年平均费用=购买费+每年所交固定费用+维修费)/总年数.

解　设汽车使用年限为n年,f(n)为使用该类汽车的年平均费用,则

于是可得如下数学模型:

Ei=

22

mv-Mvi

22

π2cos2θ2

(mv-M).=21866240000

(4)模型的求解及评价.若令海南岛、西昌、酒泉

教师水平的高低,直接影响着对学生建模能力的培养.从近年高考应用题考后试题分析不难得知,不少教师对数学建模教学处于一种应付状态,学生难以从根本上提高数学建模能力.因此教师必须不断提高自身业务水平,才能适应新形势下素质教育的要求.

4　结束语

三地火箭所需能量分别为E1、E2、E3,代入相关数据可得:

E-EE2

=4.45%,

E-EE3

=10.54%.

这说明同一卫星在海南基地发射升空,会比西昌发射节约能量为4.45%,比在酒泉发射节约能量为10.54%,节约能量即反映了运载能力的提高,从而证实了在海南卫星发射基地的优越性.

说明　本题具有一定的代表性和开放性,不同的模型假设和简化,所建立的模型也不尽相同,也可不采用本题所给参考数据.鼓励学生把各门课程学习的知识融会贯通,促使学生根据需要查阅资料获取新知识,,.,,.

3.4　,充,,度”,.[1]　姜启源.数学模型[M].北京:高等教育出版

社,1993.

[2]　冯永明.中学数学建模的教学构想与实践[J].

,知识的处理和转换发生障碍、思维受阻,教师应及时给予启迪引导;重视学生对各种现象的理解,倾听他们看法,洞察他们想法的由来;对学生的做法不能简单的肯定或否定,而是要从他们的经验背景出发进行分析,从而激发学生解决问题的热情和兴趣.

3.5　教师在教学过程中应不断提高自身的素质

数学通讯,2000(7).

[3]　叶其孝.中学数学建模[M].长沙:湖南教育出

版社,1998.

[4]　中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标

　　准[M].北京:人民教育出版社,2004.

运算能力的意义、特点及其培养途径

郑步春

(江苏省盐城市教育科学研究院　224002)

1　运算能力的意义行这一运算(结合法则)的结果,通常表示为a3b=

c;二是把运算看成“函数”.实质上,结合法则使M

运算,是指根据运算法则与公式对具体对象进行变形的演绎过程.中学数学运算,包括数值计算,式的恒等变形,方程与不等式的求解,函数的初等运算、超越运算、微分、积分运算,各种几何量的测算,概率统计的初步计算以及有关对应、变换等.

尽管各种运算有各自的意义、公式和法则,但都要求其结果具有存在性、唯一性和最简性.对运算一般有两种解释:一是把运算解释为“结合法则”,如果集合M={a,b,c,…}中引进了某个运算“3”,也就是说,对于M中的任意两个元素a、b都能进行“3”运算,即存在唯一的元素c∈M,是对元素a和b施

中元素恰好对应这个集合的一个元素,即实施集合

M中元素一切可能序偶集合M到集合M的映射(M2→M)叫做集合M中的运算(确切的说,是二元

2

运算)“3”.

运算能力,是指不仅会根据法则、公式等正确地进行运算,而且理解运算的算理,能够根据问题的条件寻求合理、简捷的运算途径.

2　运算能力的特点

第一,从数学的发展看,运算能力具有层次性.不同类型的运算是由简单到复杂,由低级到高